Position vs. tidsgrafer

Lad os snakke om position vs tidsgrafer. De kan godt drille. Hvis du ikke kender dem, så kan de drille lidt. Fysikere elsker dem. Lærere elsker dem. De indgår i eksaminer. Hvorfor kan så mange lide dem? Fordi du kan samle en masse oplysninger om et objekts bevægelse på meget lidt plads. Du kan vise hele objektets bevægelse uden at skrive en eneste ligning eller sige et eneste ord. Det hele er lige her. De er derfor ret nyttige. Du bør vide, hvordan du bruger dem. Denne graf viser bevægelsen af et objekt. I stedet for sige objekt, lad os vælge et specifikt. Lad os bruge en skildpadde. Det er ikke blot en skildpadde. Det er en skildpadde med en jetpack. Jeg vil ikke have ubehagelige klager, så lad os putte en hjelm på. En pink hjelm. Hun ser skam fin ud. Vi har en sikkerhedsbevidst skildpadde. Okay, skildpadden bevæger sig altså. Denne graf viser skildpaddens bevægelse. Den første fejl mange begår, er at tro, at grafens udseende svarer til skildpaddens bevægelse på marken. Så den bevæger den sig fremad og så ned og så op, men det gør den ikke. Overhovedet ikke. For bedre at vise, hvad grafen viser, lad mig lave en vandret akse her. Den repræsenterer vandret position. så jeg mærker den x. og den måles i meter. Det gør jeg fordi, herover har vi x, som er den vandrette position af skildpadden. Vi afbilder dens vandrette position. Det betyder, hvis du har skildpadden ved x er 2, så skal grafen også vise, at skildpadden er ved x er 2 ved at vise værdien 2 lige her. Det gør den ved 2 og 1/4 sekunder. Der er skildpadden ved 2 meter. Det er det grafen fortæller dig. Lad os aflæse grafen og finde ud af, hvad denne skildpadde gjorde. Hvis skildpadden ikke gik frem, ned og op, hvad gjorde den så? Lad os starte ved t er lig 0. Vi begynder altså her, hvor t er lig 0. Der er grafens værdi 3. Grafens værdi repræsenterer den vandrette position. Grafen giver dig den vandrette position. Når t er 0, så er skildpadden ved 3 meter. Lad os anbringe hende ved 3 meter. Hun starter her. 3 meter, når t er 0. Hvad sker der? Når t er 1 sekund, er den det samme. Vi aflæser grafen ved at gå opad og ramme grafen, og aflæser værdien til venstre. Skildpadden er stadig ved 3. Ved 2 sekunder går vi op og rammer grafen, går til venstre og aflæser. Skildpadden er stadig ved 3, lidt pinligt. Skildpadden har ikke flyttet sig i de 2 første sekunder. Hun står der bare. En vandret linje på en positionsgraf repræsenterer ingen bevægelse. Der er ingen bevægelse, pinligt. Skildpadden forsøger nok at finde ud af, hvordan man starter en jetpack. Skulle have læst vejledningen. Undskyld. Hvad sker der så? Ved 4 sekunder er den ved -5 meter. Det er helt tilbage her. Mellem 2 og 4 sekunder der suser skildpadden tilbage hertil. Også pinligt Tændte vist for den forkerte raket. Nybegynder. Sådan. Kom altså hertil. Hvad gjorde skildpadden så? Dernæst suser skildpadden fremad. Hele vejen til 0 og så videre til 3 meter. Skildpadden suser fremad til 3 meter. Det er hvad skildpadden gjorde, og det er hvad grafen viser og det er sådan du aflæser den. Men der er mere i det end det. Der er en masse flere oplysninger at hente. Du kan bestemme skildpaddens forskydning, som jeg kalder ∆x. Husk forskydning er den endelige position minus udgangspositionen. Du kan vælge to vilkårlige tidspunkter, men lad os blot for nemhedens skyld bruge hele tidsintervallet på grafen. Jeg kunne have valgt mellem 0 og 4 sekunder, men lad os bruge hele tidsrummet mellem 0 og 10. Hvad er den endelige position? Den endelige position er den position skildpadden har ved 10 s, nemlig 3 m, --det kan jeg aflæse her-- minus udgangspositionen. Da vi bruger hele tidsrummet er det ved 0 sek, hvor hun også var ved 3, så forskydningen er 0. Det giver mening, da skildpadden startede ved 3, og stod der for 2 s og susede tilbage til -5 og susede så til 3. Hun endte samme sted hun begyndte. Ingen forskydning. Lad os bestemme tilbagelagt afstand. Tilbagelagt afstand er den samlede længde af vejen tilbagelagt mellem to positioner Her i den første del blev der ikke tilbagelagt nogen afstand. Det var den pinlige del. Det snakker vi ikke om, så vi ikke sårer hendes følelser. Dette er 0 meter. Mellem 2 og 4 sekunder der går skildpadden fra 3 til -5. Det er en afstand på 8 meter. Skal vi huske det negative fortegn? Niks. Afstand er altid positiv. Alle disse stykker af vejen er positive og vi lægger dem sammen, så 8 m. Skildpadden gik fra 3 tilbage til -5. Den tilbagelagte afstand er 8 meter. Mellem 4 og 10 sekunder, da gik skildpadden fra -5 meter hele vejen tilbage til 3 meter. Hun flyttede sig yderligere 8 meter. Den samlede tilbagelagte afstand er 16 m. Du kunne have valgt to andre punkter på grafen. Hvad kan vi ellers finde ud af? Vi kan finde den gennemsnitlige hastighed, som nogle skrive med en streg over og andre gange skriver et lille gen. Hvad betyder det? Gennemsnitlig hastighed er forskydning over tid. Lad os finde den samlede gennemsnitlige hastighed. Jeg skal bruge den samlede forskydning. Den kender vi. Den samlede forskydning var 0 for hele turen. Det er 0 meter divideret med... Det gør jo ingen forskel, men det tog 10 s, at få denne forskydning. Dette er lig 0. Der er ingen gennemsnitlig hastighed. Den gennemsnitlige hastighed for hele turen var 0, fordi skildpadden ikke have en samlet forskydning. Hvad med gennemsnitlig fart? Du kan også skrive det med en streg over. Fysikere bruger alle mulige bogstaver. Den gennemsnitlige fart er defineret som afstand over tid. Lad os igen bestemme den samlede gennemsnitlige fart over alle 10 sekunder. Jeg allerede har udregnet at den tilbagelagte afstand er 16 meter. 16 meter divideret med hele tidsrummet. Det tog 10 sekunder for hele turen. Skildpadden havde en fart på 1,6 m/s - i gennemsnit. Det er hendes gennemsnitlige fart. Den var blevet lidt større, hvis hun ikke havde haft tekniske problemer. Vi kan bestemme flere ting. Vi kan finde den øjeblikkelige hastighed. Den skriver vi som v for hastighed [velocity]. Vi bruger tit øjeblikkelig hastighed. Hvad er det? Dette er måske det allervigtigste i hele denne video. For at bestemme den øjeblikkelige hastighed ud fra en positionsgraf, så kigger du på hældningen. Hældningen på en positionsgraf svarer til hastigheden i den retning. Når vi har grafen for den vandrette position vs. tid, så vil hældningen svare til hastigheden i x retningen. Når vi bestemmer den gennemsnitlige hældning så får vi den gennemsnitlige hastighed og når vi bestemmer den øjeblikkelige hældning så får vi den øjeblikkelige hastighed. Hvordan finder jeg den øjeblikkelige hældning? Hvis du har en buet graf, så skal du bruge infinitesimalregning. Men vi er heldige. Alle disse linjer er rette, så den gennemsnitlige hældning mellem to vilkårlige punkter på en af linjerne er lig den øjeblikkelige hældning ved ethvert punkt på den linje. Lad os finde den øjeblikkelige hastighed ved 3 sekunder. Hvad gør vi? Med øjeblikkelig hastighed mener vi hastigheden ved 3 sekunder. Jeg finder 3 s på grafen. Vi skal finde hældningen i dette punkt. Lad mig tegne det. Jeg skal finde hældningen lige her. Hvordan gør jeg det? Hvis du finder den gennemsnitlige hældning mellem to vilkårlige punkter på linjen, --jeg vælge disse to-- så vil den gennemsnitlige hældning mellem disse to punkter svare til den øjeblikkelige hældning ved ethvert punkt på linjen, da hældningen ikke ændrer sig. Hvis du tager gennemsnittet af en masse tal, der er ens, så får vi blot den samme værdi, som dem alle sammen. Det var en kompliceret måde at sige, når du tager gennemsnittet af 8,8,8 og 8, hvad får du så? Gennemsnittet af dem er 8, hvilket er det samme som hvert tal. Har du en graf, der er en ret linje, så er du heldig, da du ikke behøver infinitesimalregning. Du kan finde den øjeblikkelige hældning ved ethvert punkt ved at finde den gennemsnitlig hældning mellem to vilkårlige punkter. Jeg vælger disse to. Hvorfor dem? De er nemme at aflæse. Det er (2, 3) og dette er (4, -5) Du undrer dig måske over, hvorfor hastighed er lig med hældning? Kan du huske fra matematik? Hældning er stigning over fremdrift. Det skrev du som --tilbage til matematik-- (y2 - y1) over (x2 - x1). Vi skrev det sådan, fordi i matematik er den lodrette akse typisk y og den vandrette akse er x. Dette er fysik. Vores vandrette akse er ikke x. Vores vandrette akse er t. Vi har kaldt vores lodrette akse x. Hældningen af vores graf, stigning over fremdrift, er (x2 - x1) over (t2 -t1). Hvad gør vi med det? Dette er punkt 2 og dette er punkt 1. Hvorfor er dette ikke 2 og det er 1? Det seneste tidspunk er altid punkt 2. 4 sekunder og -5 meter er punkt 2. Når jeg aflæser grafen ved punkt 2, så er x2 lig -5. Jeg skriver -5 m - Hvad er x1? Husk ikke at tro, at x1 er 4. Det er tiden ikke positionen. Ved punkt 1 er den vandrette position 3, så +3 m. Dette minus-tegn er fra formlen. Divideret med t2, som er 4 s. - t1 , som er 2 s. Når du udregner dette får du -5 og -3 er -8 divideret med 2 s. Jeg får -4 m/s. Det er den øjeblikkelige hastighed ved 3 sekunder. -4 meter / sekund. minus fordi skildpadden går til venstre. det var det pinlige øjeblik, hvor hun tændte den forkerte raket. Og 4 fordi hun bevægede sig 4 meter for hvert sekund. 8 meter på 2 sekunder, som er 4 meter per sekund i gennemsnit. Da det er en ret linje, så er det hastigheden ved ethvert tidspunkt. Smukt. Hvis det næste spørgsmål, så er, hvad er det ved 2,4 sekunder? Frygt ikke. Det er det samme hele tiden -4 m/s for hele denne linje. Vi kan bestemme en ting mere. Hvad er den øjeblikkelige fart i et punkt? Øjeblikkelige fart er lig den numeriske værdi af den øjeblikkelige hastighed. Nu skal vi lave en lille antagelse. Hvis vi kun er givet en vandret positionsgraf, så kender vi ikke den lodrette position. Skildpadden kunne være gået frem og tilbage eller hun kunne have fløjet opad, mens hun fløj frem og tilbage. Den lodrette positionsgraf vil være den samme uanset om skildpadden bevægede sig i den lodrette retning. Vi skal være forsigtige, da fart er størrelsen af den samlede hastighed. Dette er blot hastigheden i x-retningen. Vi skal derfor antage, at skildpadden kun bevægede sig vandret. Hun er ikke klar til lodret bevægelse. Hvordan finder du dette? Fart er blot den numeriske værdi eller størrelsen af den øjeblikkelige hastighed. Når der kun er én komponent i hastigheden, så er det ret nemt at finde ud af. Det giver ingen mening, blot at sige den øjeblikkelige fart. Du skal sige øjeblikkelig fart ved et givet tidspunkt. Hvad er den øjeblikkelig fart her? Det er den numeriske værdi, så det bliver +4 m/s. Det er den øjeblikkelige fart ved 3 s, eller ethvert tidspunkt mellem 2 og 4 sekunder. Det var meget stof, men jeg sagde jo, der var meget information. Lige en hurtig gennemgang. Værdien på en vandret position vs tidsgraf giver dig den vandrette position - stor overraskelse. Hældningen af en vandret positionsgraf er hastigheden i den vandrette retning. Den gennemsnitlige hældning er den gennemsnitlige hastighed. Den øjeblikkelige hældning er den øjeblikkelige hastighed. Hvis det er en ret linje uden krumning, så er de to ens for hele linjen. Lige her er de ikke ens, fordi jeg tog gennemsnittet af det tidsrummet, hvor hældningen ændrede sig. Jeg fandt gennemsnittet af alle linjerne og derfor er de to ikke ens. Men hvis jeg havde begrænset mig og blot fundet genenmsnittet af en linje med konstant hældning, så vil det være lig øjeblikkelig hældning ved ethvert punkt. Den øjeblikkelig fart er størrelsen af den øjeblikkelige hastighed, når du antager, at der kun er bevægelse i den ene retning.