If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Bevis for 1. logaritmeregel (produktreglen)

Sal viser, hvordan logaritmer lægges sammen, log(a) + log(b) = log(a∙b). Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

Hej. Lad os arbejde med logaritmereglerne. Men lad os lige gennemgå, hvad en logaritme er. Hvis jeg skriver logₓ(A) = N, hvad betyder det så? Det betyder blot, at x opløftet til N er lig A. Det tror jeg vi allerede ved. Det har vi lært i en anden video om logaritmer. Det er vigtig at indse, når du udregner et logaritme udtryk, som logaritmen med grundtal x til A, at svaret er en eksponent. Dette N er faktisk en eksponent. Det er lig dette her. Da dette N er lig dette N, så kunne jeg have skrevet x opløftet til logₓ(A) = A. Jeg erstattede dette N med dette led. Jeg skrev det på denne måde for at du kan se hvordan en logaritme er en eksponent, når du udregner den. Vi skal huske på, at det er herfra logaritmeregnereglerne kommer. Jeg har tænkt mig at finde nogle logaritmeregler ved blot at omskrive. Så kan jeg senere gennemgå dem og skrive det pænere. Men jeg vil vise, hvordan man oprindelig fandt ud af dem. -- lad mig skifte farve for at gøre det mere spændende -- Lad os sige at x opløftet til l er lig A. Hvis vi skrive det som en logaritme, så kan vi skrive at logₓ(A) = l, ikke sandt? Jeg omskriv, hvad jeg skrev her øverst. -- lad mig skifte farve -- Hvis jeg siger, at x opløftet til m er lig B, så kan jeg gøre det samme med andre bogstaver logₓ(B) = m. Jeg gjorde det samme som heroppe, bare med andre bogstaver. Lad os fortsætte og se, hvad der sker. -- med en anden farve -- Lad os sige vi har x opløftet til n, -- og du siger, Sal, hvad laver du? Men det finder du ud af -- x opløftet til n er lig A gange B. Det er det samme som at sige, at n = logₓ(A ∙ B). [Sal skriver forkert!] Hvad kan vi gøre med alt dette? Lad os starte med dette her. x opløftet til n er lig A gange B. Hvordan kan vi omskrive det? A er lig det her og B er lig det her. Lad os omskrive det. x opløftet til n er lig A og A er lig x opløftet til l. Hvad er B? gange B, som er lig x opløftet til m. Jeg laver ikke noget svært nu. Hvad er x opløftet til l gange x opløftet til m? Du ved fra potensregnereglerne, når du ganger to potenser med samme grundtal, så lægger du blot eksponenterne sammen. Jeg er ikke sikker på, jeg sagde det helt rigtigt, men du ved hvad jeg mener. Samme grundtal og potenserne ganges, så lægges eksponenterne sammen. Så det er lig x opløftet til l + m. x opløftet til n er lig x opløftet til l + m. Hvad ved vi nu? Vi ved, at x opløftet til n er lig x opløftet til l + m. Da vi har det samme grundtal, så må disse eksponenter være lig hinanden. n = l + m. Hvorfor er det godt? Vi leger lidt med logaritmerne her, men kommer vi videre? Det tror jeg, du kan se, vi gør. Hvordan kan vi også skrive n? x opløftet til n er lig A gange B -- ups jeg har vist sprunget noget over -- Jeg går lige tilbage, x opløftet til n er lig A gange B. Derfor er logaritmen med grundtal x til A gange B lig n. Det vidste du godt. Forhåbentlig er du klar over, jeg ikke har lavet om på noget. Jeg glemte blot at skrive det hele. Hvad er n? Hvordan kan vi omskrive n? Vi kan skrive n sådan her logₓ(A∙B). Hvad er det lig med? Det er lig l, som kan skrives som logₓ(A). Plus m, hvad er m? m er logₓ(B). Her har vi 1. logaritmeregel. logₓ(A∙B) er lig logₓ(A) + logₓ(B). Forhåbentlig viser dette reglen. Alt dette kommer af at logaritmer egentlig er eksponenter. Jeg tror det er nok for denne gang. I den næste video vil jeg vise endnu en logaritmeregel. Vi ses.