Hvad er værdimængden for en funktion?

Lige en hurtig gennemgang. Vi ved, hvis vi har en funktion, som vi kalder f... Vi behøver ikke kalde den f, men f er ofte brugt for funktioner. Hvis jeg indsætter et gyldigt input og jeg bruger her variablen x så bliver det knyttet til et output, som vi kalder f(x). Vi har allerede snakket om begrebet definitionsmængde. Definitonsmængden er det sæt af input for hvilken funktionen er defineret. Hvis dette er definitionsmængden, og jeg tager en værdi og jeg bruger den for x, så vil funktionen give f(x) som output. Hvis jeg tager noget, der er udenfor definitionsmængden, og forsøger at indsætte det i funktionen, så vil funktionen sige, "øh jeg er ikke defineret for den her, da den ligger udenfor definitionsmængden". Noget andet spændende, som man skal over overveje, og som er emnet for denne video... Vi kender nu sættet af alle gyldige input, som hedder definitionsmængde, men hvad med sættet af alle de outputs, som funktionen kan give? Vi har et navn for det. Det hedder værdimængden for funktionen. Der er faktisk et par definitioner for værdimængde. Men den mest typiske definition for værdimængde er "alle mulige output". Du indsætter noget fra definitionsmængden og den giver dig et output og per definition når det er et output så er det en del af værdimængden. Når vi tager det sæt af alle ting, som funktionen kan give, så har vi værdimængden. Her er sættet af alle mulige output. Lad os lave et eksempel. Lad os sige, jeg har funktionen f(x). Når jeg indsætter x, så får jeg f(x) som output. Lad os sige, at definitionen for funktionen, hvilket f(x) der skal laves for et givet x, siger, at f(x) = x². Vi kender definitionsmængden. Definitionsmængden er alle gyldige input. Hvad er de gyldige input? Jeg kan tage ethvert reelt tal og indsætte det. Jeg kan tage kvadratet på ethvert reelt tal. Det er der ikke noget galt i. Så definitionsmængden er alle reelle tal. Hvad er værdimængden? Jeg bruger lige en anden farve. Hvad er værdimængden? Hvad er sættet af alle mulige output? Måske det hjælper at lave en graf. Så vi kan se, hvordan det ser ud. Grafen for f(x) = x² ser nogenlunde således ud. Jeg tegner den i hånden, så den er ikke perfekt. Det bliver en parabel med toppunkt i origo. Dette er grafen for y = f(x) Dette er x-aksen. Dette er y-aksen. Lad os se på sættet af de mulige output. Det svarer til de mulige værdier af y. Vi kan se, at y kan være enhver ikke-negativ værdi. y kan være 0, y kan være 1, y kan være 𝜋, y kan være e, men y kan ikke være negativ. Vi kan skrive værdimængden på forskellige måder. Vi kan sige, at værdimængden af f(x) tilhører de reelle tal, for hvilket det er givet, at f(x) er større end eller lig 0. Vi kan skrive det på den måde. Hvis vi vil skrive det mindre matematisk, så kan vi skrive, at f(x) er større end eller lig 0. f(x) kan ikke være negativ. Værdimængde er alle ikke-negative tal. Lad os lave et andet eksempel. Bare for at gøre det lidt mere tydeligt. Lad os sige, jeg har g(x), som jeg laver med hvidt, som er lig x²/x. Lad os reducere den lidt. Jeg har x² og jeg dividerer det med x. Det det samme som g(x) = x. x² / x er det samme som x. Men vi skal være forsigtige. Her er x = 0 ikke en del af definitionsmængden. Hvis x = 0, så får vi 0/0, som ikke er defineret. For at denne funktion er præcis den samme funktion, så må vi skrive det ned, da det jo ikke er indlysende fra definitionen. Vi skal skrive, at x ikke kan være lig 0. g(x) er lig x for ethvert x, så længe x er ikke lig 0. Nu er definitionerne for begge disse funktioner tilsvarende. Vi kan tegne det. Jeg laver blot en hurtig skitse. Den vil nogenlunde således ud. Den vil have en hældningen på 1. Men den vil have et hul her ved 0, da den ikke er defineret for x = 0. Den vil se således ud. Definitionsmængden af g er, at x tilhører de reelle tal for hvilket det er givet, at x ikke er lig 0. Værdimængden bliver faktisk det samme. Værdimængden er, at f(x) tilhører de reelle tal, for hvilket det er givet, at f(x) ikke er lig 0. ［Sal skrev f(x) i stedet for g(x)］ Definitionsmængden er alle reelle tal bortset fra 0 og værdimængden er alle reelle tal bortset fra 0. Pointen her er altså, at værdimængden er alle mulige output fra en funktion. Definitionsmængden er alle mulige input i funktionen.