Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Introduktion til inverse funktioner

Lær hvad inverse funktioner er, hvordan man bestemmer inverse funktioner ud fra oplysninger i en tabel eller en graf.
En invers funktion er kort fortalt en funktion, som gør "det omvendte" af en anden funktion. Vi kan også kalde den en "omvendt funktion".
For eksempel kan vi nedenunder se, at f tager 1 til x, 2 til z og 3 til y.
Den inverse til f, skrives som f1 (og udtales bare "den inverse til f"), gør det omvendte. Den inverse funktion f1 tager x til 1, y til 3 og z til 2. Det er vigtigt at bemærke, at selvom 1 er skrevet som en eksponent, så har det ikke noget med potenser at gøre; det er bare måden at skrive det på. Det er lidt det samme som i trigonometri, hvor vi f.eks. har cos1.
Spørgsmål til overvejelse
Hvilket følgende udsagn er sandt?
Vælg 1 svar:

Definition af inverse funktioner

Generelt gælder der, at hvis en funktion f tager a til b, så vil den inverse funktion, f1, tage b til a.
Ud fra det kan vi lave en formel definition for inverse funktioner:

f(a)=bf1(b)=a

Lad os bruge denne definition til at gennemgå nogle eksempler.

Eksempel 1: Diagram

Lad os antage, at funktionen h er repræsenteret med diagrammet ovenfor. Hvad er h1(9)?

Løsning

I diagrammet kan vi aflæse oplysninger om funktionen h, og vi bliver bedt om at svare på et spørgsmål om h1. Fordi inverse funktioner gør det omvendte af hinanden, skal vi også tænke omvendt.
For at bestemme h1(9) skal vi finde det input i funktionen h, som giver funktionsværdien 9. Det er fordi, hvis h1(9)=x, så ud fra definitionen er h(x)=9.
Ud fra diagrammet kan vi se, at h(6)=9, så h1(9)=6.

Tjek din forståelse

Opgave 1
g1(3)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Eksempel 2: Graf

Dette er grafen for funktionen g. Lad os bestemme g1(7).

Løsning

For at bestemme g1(7) kan vi finde det input til g, som giver funktionsværdien 7. Det kan vi, fordi hvis g1(7)=x, så er g(x)=7 ud fra definitionen om inverse funktioner.
Ud fra grafen kan vi se, at g(3)=7.
Derfor er g1(7)=3.

Tjek din forståelse

Opgave 2
Hvad er h1(4)?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave
Givet at f(x)=3x2, hvad er så f1(7)?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, f.eks. 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, f.eks. 7/4
  • et blandet tal, f.eks. 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, f.eks. 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Den grafiske sammenhæng

Eksemplerne ovenfor viste os den algebraiske sammenhæng mellem en funktion og dens inverse, men man kan faktisk også betragte sammenhængen grafisk!
Betragt funktionen f, som er repræsenteret både med en graf og en funktionstabel.
xf(x)
214
112
01
12
24
Vi kan bytte rundt på inputs og funktionsværdier for funktionen f for at finde inputs og funktionsværdier for f1. Så hvis (a,b) ligger på grafen for y=f(x), så ligger (b,a) på grafen for y=f1(x).
Det giver os denne graf og funktionstabel for f1.
xf1(x)
142
121
10
21
42
Hvis vi kigger på begge grafer samlet, så kan vi se, at grafen for y=f(x) og grafen for y=f1(x) er hinandens spejlinger i linjen y=x.
Dette gælder generelt; grafen for en funktion og grafen for dens inverse vil altid være hinandens spejlbilleder i linjen y=x.

Tjek din forståelse

Opgave 3
Dette er grafen for y=h(x).
Hvilken af nedenstående grafer er grafen for y=h1(x)?
Vælg 1 svar:

Opgave 4
Grafen for y=h(x) er et linjestykke med endepunkterne (5,1) og (2,7).
Træk i endepunkterne i det fuldt optrukkede linjestykke for at tegne grafen for y=h1(x).

Hvorfor skal vi lære om inverse funktioner?

Det kan måske være svært at forstå, hvorfor vi overhovedet skal lære om inverse funktioner, og hvor de kan bruges, men de er ganske anvendelige, og vi bruger dem faktisk hele tiden!
Betragt f.eks. ligningen C=59(F32), som kan bruges til at omregne temperaturen i Fahrenheit, F, til grader Celsius, C.
Og lad os så antage, at vi nu ønsker en ligning, som gør præcis det omvendte – altså omregner temperaturen i grader Celsius til temperaturen i Fahrenheit. Det gør vi ved at isolere F i den oprindelige ligning, og så får vi F=95C+32, hvilket er den inverse funktion.
Helt grundlæggende kan vi sige, at når vi løser ligninger i matematik, så "isolerer vi variablen". Når vi isolerer variablen, så gør vi altid "det omvendte". Det er sådan set også det grundlæggende i arbejdet med inverse funktioner.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.