Hovedindhold

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Modul 12: Introduktion til faktorisering af andengradspolynomier

Faktorisering af andengradspolynomier: ledende koefficient = 1

Lær at faktorisere andengradspolynomier som produktet af to lineære toleddede udtryk. For eksempel, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Hvad du bør vide inden dette modul

Faktorisering et polynomium betyder at skrive det som et produkt af to eller flere polynomier. Vi kan se det som det omvendte af at gange polynomier. Hvis du vil lære mere om dette, kan du læse artiklen om at finde fælles faktorer.

Hvad du kan lære i dette modul

I denne lektion lærer du at faktorisere et polynomium på formen

x^{2} + b x + c

som et produkt af to toleddede udtryk.

Gennemgang: Multiplikation af toleddede udtryk

Lad os kigge på udtrykket

(x + 2) (x + 4)

Vi kan bestemme produktet ved at anvende den distributive lov over to gange.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

Nogle bruger forkortelsen

F Y I S

til at huske, hvordan man ganger to toleddede udtryk.

Det er en måde at huske, at hvert led i det første toleddede udtryk ganges med hvert led i det andet toleddede udtryk. Helt præcist betyder det at gange de

Første

led i det toleddede udtryk, så de

Ydre

led, derefter de

Indre

led og endelig de

Sidste

led.

Vi kan f.eks. bruge FYIS til at udregne

(x + 2) (x + 4)

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

Selvom metoden er helt korrekt, kan FYIS måske lyde lidt mystisk. Det kan være lettere bare at huske, at hvert led i det første toleddede udtryk skal ganges med hvert led i det andet toleddede udtryk.

Vi har altså

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

Af dette ser vi, at

x + 2

x + 4

er faktorer i

x^{2} + 6 x + 8

, men hvordan ville vi finde disse faktorer, hvis vi ikke begyndte med dem?

Faktorisering af tre-leddede udtryk

Vi kan også gå den anden vej, dvs. et tre-leddet udtryk (et polynomium med

3

led) som et produkt af to toleddede udtryk.

Hvis vi f.eks. har polynomiet

x^{2} + 6 x + 8

, kan vi bruge faktorisering til at skrive det som et produkt af to toleddede udtryk,

(x + 2) (x + 4)

Lad os kigge på et par eksempler for at se, hvordan vi gør det.

Eksempel 1: Faktorisering af $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

For at faktorisere

x^{2} + 5 x + 6

, er vi først nødt til at finde to tal, der ganget sammen giver

6

(konstantleddet), og som lagt sammen giver

5

(

x

-koefficienten).

Disse to tal er

2

3

, da

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

Vi kan lave en liste over alle tal, der ganget sammen giver

6

. Når vi har gjort det, kigger vi på, hvilke af disse tal, der lagt sammen giver

5

Produkt: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + 2)

(x + 3)

Faktoriseringen af det tre-leddede udtryk er altså:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Hvis du vil kontrollere faktoriseringen, kan du gange de to toleddede udtryk sammen:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

Produktet af

x + 2

x + 3

er netop

x^{2} + 5 x + 6

. Vores faktorisering er korrekt!

Tjek din forståelse

1) Faktorisér $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

For at faktorisere

x^{2} + 7 x + 10

, skal vi finde faktorer i

10

, der lagt sammen giver

7

Tabellen nedenfor viser alle mulige faktorer i

10

og deres sum.

Produkt: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

Kun ét par opfylder betingelserne i opgaven:

2

5

Vi kan lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + 2)

(x + 5)

. Faktorisering af polynomiet er givet nedenfor.

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

2) Faktorisér $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

For at faktorisere

x^{2} + 9 x + 20

, skal vi finde de faktorer i

20

, der lagt sammen giver

9

Tabellen nedenfor viser alle mulige faktorer i

20

og deres sum.

Produkt: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

Kun ét par opfylder betingelserne i opgaven:

4

5

Vi kan lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + 4)

(x + 5)

. Faktorisering af polynomiet er givet nedenfor.

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

Lad os kigge på nogle flere eksempler og se, hvad vi kan lære af dem.

Eksempel 2: Faktorisering af $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

For at faktorisere

x^{2} - 5 x + 6

skal vi først finde de to tal, der ganget sammen giver

6

, og som lagt sammen giver

- 5

De to tal er

- 2

- 3

, fordi

- 2 \cdot - 3 = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

Vi kan lave en liste over alle tal, der ganget sammen giver

6

. Bagefter kigger vi på, hvilke af disse tal, der lagt sammen giver

- 5

Produkt: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

Faktoriseringen er derfor:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Faktoriseringsmønster: Læg mærke til, at tallene vi brugte til at faktorisere

x^{2} - 5 x + 6

begge er negative

(- 2

- 3)

. Det er fordi, deres produkt skal være positivt

(6)

og deres sum negativ

(- 5)

Generelt når man faktoriserer

x^{2} + b x + c

, hvis

c

er positiv, og

b

er negativ, så vil begge faktorer være negative!

Eksempel 3: Faktorisering af $x^{2} - x - 6$ ‍

Vi kan tolke

x^{2} - x - 6

som

x^{2} - 1 x - 6

For at faktorisere

x^{2} - 1 x - 6

skal vi først finde de to tal, der ganget sammen giver

- 6

og lagt sammen giver

- 1

De to tal er

2

- 3

, fordi

2 \cdot - 3 = 6

(- 2) + (- 3) = - 1

Vi kan lave en liste over alle tal, der ganget sammen giver

- 6

. Når vi har gjort det, kigger vi på, hvilke af disse tal, der lagt sammen giver

- 1

Produkt: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot 6 = - 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot (- 6) = - 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + 2)

(x + (- 3))

Faktoriseringen er derfor:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Faktoriseringsmønstre: Bemærk, at til at faktorisere

x^{2} - x - 6

skal vi bruge et positivt tal

(2)

og et negativt tal

(- 3)

. Det er fordi, deres produkt skal være negativt

(- 6)

Generelt når man faktoriserer

x^{2} + b x + c

, hvis

c

er negativ, så vil den ene faktor være positiv og den anden være negativ!

Opsamling

Generelt når vi faktoriserer et tre-leddet udtryk på formen

x^{2} + b x + c

, skal vi bruge faktorer af

c

, som lagt sammen giver

b

Lad os antage, at de to tal er

m

n

, så

c = m n

b = m + n

. Så bliver

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Tjek din forståelse

3) Faktorisér $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

For at faktorisere

x^{2} - 8 x - 9

, skal vi bruge de faktorer af

- 9

, der lagt sammen giver

- 8

Da de to tal ganget sammen skal give

- 9

, skal det ene tal være positivt og det andet negativt.

Faktorerne for

- 9

er vist i nedenstående tabel.

Produkt: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

Kun tallene

1

- 9

opfylder disse krav. Vi kan lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + 1)

(x + (- 9))

. Faktorisering af polynomiet er givet nedenfor.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) Faktorisér $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

For at faktorisere

x^{2} - 10 x + 24

, skal vi finde de faktorer af

24

, der lagt sammen giver

- 10

Da de to tal ganget sammen skal give

24

og lagt sammen give

- 10

, skal begge tal være negative.

Faktorerne for

24

(hvor begge er negative) er angivet i nedenstående tabel.

Produkt: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

Tallene

- 4

- 6

opfylder disse krav. Vi kan lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + - 4)

(x + (- 6))

. Faktorisering af polynomiet er givet nedenfor.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) Faktorisér $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

For at faktorisere

x^{2} + 7 x - 30

, skal vi finde faktorer af

- 30

, der lagt sammen giver

7

Da de to tal ganget sammen skal give

- 30

, skal det ene tal være positivt og det andet negativt.

Faktorerne for

- 30

er vist i nedenstående tabel.

Produkt: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	Sum: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = - 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = - 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot (- 6) = - 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

Tallene

- 3

10

opfylder disse krav. Vi kan lægge hvert af disse tal til

x

i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer:

(x + (- 3))

(x + (10))

. Faktorisering af polynomiet er givet nedenfor.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

Hvorfor virker dette?

For at forstå hvorfor denne faktoriseringsmetode virker, går vi tilbage til det oprindelige eksempel, hvor vi faktoriserede

x^{2} + 5 x + 6

til

(x + 2) (x + 3)

Hvis vi går tilbage og ganger de to toleddede faktorer ud, kan vi se den effekt, som

2

3

har på produktet

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Vi ser, at koefficienten foran

x

-leddet er summen af

2

3

, og konstantleddet er produktet af

2

3

Sum-produkt mønstret

Lad os gentage, hvad vi lige gjorde med

(x + 2) (x + 3)

med

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Vi får derfor følgende ligning:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Dette kalder vi sum-produkt mønstret.

Det viser, at når vi skriver det tre-leddede udtryk

x^{2} + b x + c

som

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(ved at finde to tal

m

n

så

b = m + n

c = m \cdot n

), kan vi faktorisere det som

(x + m) (x + n)

Spørgsmål til overvejelse

6) Kan denne faktoriseringsmetode bruges til at faktorisere $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

Hvornår kan vi bruge denne metode til faktorisere?

Generelt er sum-produkt metoden kun gældende, når vi kan skrive en tre-leddet størrelse som

(x + m) (x + n)

, hvor

m

n

er heltal.

Det betyder, at det første led i den tre-leddede størrelse skal være

x^{2}

(og ikke

2 x^{2}

f.eks.) for overhovedet at overveje denne metode. Det skyldes, at produktet af

(x + m)

(x + n)

altid vil være et polynomium med et første led på

x^{2}

Det er dog ikke alle tre-leddede størrelser med

x^{2}

som det første led, der kan faktoriseres. F.eks. kan

x^{2} + 2 x + 2

ikke faktoriseres, da der ikke findes to heltal, hvis sum er

2

, og hvis produkt er

2

I andre lektioner vil du lære andre metoder til at faktorisere flere typer af polynomier.

Udfordrende opgaver

7) Faktorisér $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

8) Faktorisér $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

Dette polynomium er på formen

x^{2} + b x + c

Lad

Y = x^{2}

. Vi kan nu skrive polynomiet på følgende måde:

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = 5

, er faktorerne:

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

Men fordi

Y = x^{2}

, kan vi substituere tilbage for at finde faktoriseringen af det oprindelige polynomium.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

Faktoriseringen er

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra (Bibliotek)

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Hvad du bør vide inden dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

Gennemgang: Multiplikation af toleddede udtryk

Faktorisering af tre-leddede udtryk

Eksempel 1: Faktorisering af x2+5x+6‍

Tjek din forståelse

Eksempel 2: Faktorisering af x2−5x+6‍

Eksempel 3: Faktorisering af x2−x−6‍

Opsamling

Tjek din forståelse

Hvorfor virker dette?

Sum-produkt mønstret

Spørgsmål til overvejelse

Hvornår kan vi bruge denne metode til faktorisere?

Udfordrende opgaver

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: Faktorisering af $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Eksempel 2: Faktorisering af $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Eksempel 3: Faktorisering af $x^{2} - x - 6$ ‍