If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Faktorisering af andengradspolynomier: ledende koefficient = 1

Lær at faktorisere andengradspolynomier som produktet af to lineære toleddede udtryk. For eksempel, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Hvad du skal vide til denne lektion

Faktorisering et polynomium betyder at skrive det som et produkt af to eller flere polynomier. Vi kan se det som det omvendte af at gange polynomier. Hvis du vil lære mere om dette, kan du læse artiklen om at finde fælles faktorer.

Hvad du kan lære i dette modul

I denne lektion lærer du at faktorisere et polynomium på formen x2+bx+c som et produkt af to toleddede udtryk.

Gennemgang: Multiplikation af toleddede udtryk

Lad os kigge på udtrykket (x+2)(x+4).
Vi kan bestemme produktet ved at anvende den distributive lov over to gange.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8
Vi har altså (x+2)(x+4)=x2+6x+8.
Af dette ser vi, at x+2 og x+4 er faktorer i x2+6x+8, men hvordan ville vi finde disse faktorer, hvis vi ikke begyndte med dem?

Faktorisering af tre-leddede udtryk

Vi kan også gå den anden vej, dvs. et tre-leddet udtryk (et polynomium med 3 led) som et produkt af to toleddede udtryk.
Hvis vi f.eks. har polynomiet x2+6x+8, kan vi bruge faktorisering til at skrive det som et produkt af to toleddede udtryk, (x+2)(x+4).
Lad os kigge på et par eksempler for at se, hvordan vi gør det.

Eksempel 1: Faktorisering af x2+5x+6

For at faktorisere x2+5x+6, er vi først nødt til at finde to tal, der ganget sammen giver 6 (konstantleddet), og som lagt sammen giver 5 (x-koefficienten).
Disse to tal er 2 og 3, da 23=6 og 2+3=5.
Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til x i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer: (x+2) og (x+3).
Faktoriseringen af det tre-leddede udtryk er altså:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)
Hvis du vil kontrollere faktoriseringen, kan du gange de to toleddede udtryk sammen:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6
Produktet af x+2 og x+3 er netop x2+5x+6. Vores faktorisering er korrekt!

Tjek din forståelse

1) Faktorisér x2+7x+10.
Vælg 1 svar:

2) Faktorisér x2+9x+20.

Lad os kigge på nogle flere eksempler og se, hvad vi kan lære af dem.

Eksempel 2: Faktorisering af x25x+6

For at faktorisere x25x+6 skal vi først finde de to tal, der ganget sammen giver 6, og som lagt sammen giver 5.
De to tal er 2 og 3, fordi 23=6 og (2)+(3)=5.
Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til x i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer: (x+(2)) og (x+(3)).
Faktoriseringen er derfor:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)
Faktoriseringsmønster: Læg mærke til, at tallene vi brugte til at faktorisere x25x+6 begge er negative (2 og 3). Det er fordi, deres produkt skal være positivt (6) og deres sum negativ (5).
Generelt når man faktoriserer x2+bx+c, hvis c er positiv, og b er negativ, så vil begge faktorer være negative!

Eksempel 3: Faktorisering af x2x6

Vi kan tolke x2x6 som x21x6.
For at faktorisere x21x6 skal vi først finde de to tal, der ganget sammen giver 6 og lagt sammen giver 1.
De to tal er 2 og 3, fordi 23=6 og (2)+(3)=1.
Vi kan derefter lægge hvert af disse tal til x i hver deres parentes for at danne de to toleddede faktorer: (x+2) og (x+(3)).
Faktoriseringen er derfor:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)
Faktoriseringsmønstre: Bemærk, at til at faktorisere x2x6 skal vi bruge et positivt tal (2) og et negativt tal (3). Det er fordi, deres produkt skal være negativt (6).
Generelt når man faktoriserer x2+bx+c, hvis c er negativ, så vil den ene faktor være positiv og den anden være negativ!

Opsamling

Generelt når vi faktoriserer et tre-leddet udtryk på formen x2+bx+c, skal vi bruge faktorer af c, som lagt sammen giver b.
Lad os antage, at de to tal er m og n, så c=mn og b=m+n. Så bliver x2+bx+c=(x+m)(x+n).

Tjek din forståelse

3) Faktorisér x28x9.

4) Faktorisér x210x+24.

5) Faktorisér x2+7x30.

Hvorfor virker dette?

For at forstå hvorfor denne faktoriseringsmetode virker, går vi tilbage til det oprindelige eksempel, hvor vi faktoriserede x2+5x+6 til (x+2)(x+3).
Hvis vi går tilbage og ganger de to toleddede faktorer ud, kan vi se den effekt, som 2 og 3 har på produktet x2+5x+6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23
Vi ser, at koefficienten foran x-leddet er summen af 2 og 3, og konstantleddet er produktet af 2 og 3.

Sum-produkt mønstret

Lad os gentage, hvad vi lige gjorde med (x+2)(x+3) med (x+m)(x+n):
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn
Vi får derfor følgende ligning:
(x+m)(x+n)=x2+(m+n)x+mn
Dette kalder vi sum-produkt mønstret.
Det viser, at når vi skriver det tre-leddede udtryk x2+bx+c som x2+(m+n)x+mn (ved at finde to tal m og nb=m+n og c=mn), kan vi faktorisere det som (x+m)(x+n).

Spørgsmål til overvejelse

6) Kan denne faktoriseringsmetode bruges til at faktorisere 2x2+3x+1?
Vælg 1 svar:

Hvornår kan vi bruge denne metode til faktorisere?

Generelt er sum-produkt metoden kun gældende, når vi kan skrive en tre-leddet størrelse som (x+m)(x+n), hvor m og n er heltal.
Det betyder, at det første led i den tre-leddede størrelse skal være x2 (og ikke 2x2 f.eks.) for overhovedet at overveje denne metode. Det skyldes, at produktet af (x+m) og (x+n) altid vil være et polynomium med et første led på x2.
Det er dog ikke alle tre-leddede størrelser med x2 som det første led, der kan faktoriseres. F.eks. kan x2+2x+2 ikke faktoriseres, da der ikke findes to heltal, hvis sum er 2, og hvis produkt er 2.
I andre lektioner vil du lære andre metoder til at faktorisere flere typer af polynomier.

Udfordrende opgaver

7) Faktorisér x2+5xy+6y2.

8) Faktorisér x45x2+6.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.