Faktorisering af andengradspolynomier: Tredje kvadratsætning

At faktorisere et polynomium betyder at skrive det som et produkt af to eller flere polynomier. Vi kan betragte det som det omvendte af at gange polynomier sammen.

I denne artikel lærer vi, hvordan vi kan bruge tredje kvadratsætning (to tals sum gange de samme to tals differens) til at faktorisere bestemte polynomier. Hvis du ikke kender tredje kvadratsætning, så tjek denne video, før du fortsætter.

Alle polynomier, der passer til tredje kvadratsætning, kan faktoriseres ved at bruge følgende formel:

Bemærk, at $a$‍ og $b$‍ i denne formel kan være alle slags algebraiske udtryk. For eksempel, for $a=x$‍ og $b=2$‍ får vi følgende:

Hvis vi faktoriserer polynomiet $x^2-4$‍, får vi $(x+2)(x-2)$‍. Vi kan gange højre side ud for at tjekke faktoriseringen:

Nu hvor du kender mønstret, så lad os kigge på et par eksempler til.

Både $x^2$‍ og $16$‍ er kvadrattal, fordi $x^2=(x{)}^2$‍ og $16=(4{)}^2$‍. Med andre ord:

Da det ene kvadrattal bliver trukket fra det andet, kan det faktoriseres som to tals sum gange de samme to tals differens. Det kalder vi også for tredje kvadratsætning:

I vores tilfælde er $a=x$‍ og $b=4$‍. Derfor faktoriserer vi vores polynomium på følgende måde:

Vi kan tjekke vores arbejde ved at tjekke, om produktet af disse to faktorer er $x^2-16$‍.

Den ledende koefficient behøver ikke at være lig med $1$‍ for at kunne benytte tredje kvadratsætning. Faktisk kan den bruges her!

Det kan vi, fordi både $4x^2$‍ og $9$‍ er kvadrattal, da $4x^2=(2x{)}^2$‍ og $9=(3{)}^2$‍. Vi kan bruge denne information til at faktorisere polynomiet med tredje kvadratsætning:

Hvis vi ganger ud, kan vi hurtigt se, at det er korrekt faktoriseret.