Hovedindhold

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Modul 15: Faktorisering af andengradspolynomier: Første og anden kvadratsætning

Faktorisering af andengradspolynomier: Første og anden kvadratsætning

Lær at faktorisere andengradspolynomier med "første og anden kvadratsætning". For eksempel, skriv x² + 6x + 9 som (x + 3)²

At faktorisere et polynomium betyder at skrive det som et produkt af to eller flere polynomier. Vi kan betragte det som det omvendte af at gange polynomier sammen.

I denne artikel lærer vi at faktorisere tre-leddede størrelser, som er kvadrattal. Dette er den omvendte proces af kvadratet på en toleddet størrelse, som svarer til første og anden kvadratsætning.

Introduktion: Faktorisering med første og anden kvadratsætning

Til at gange enhvert toleddet udtryk ud, kan vi benytte en af de følgende kvadratsætninger.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

Bemærk, at både

a

b

kan være tal og algebraiske udtryk. F.eks. hvis vi vil udregne

(x + 5)^{2}

, så er

a = x

b = 5

, og så får vi:

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

Du kan tjekke svaret ved at gange

(x + 5)^{2}

ud.

Den omvendte af denne metode, er en faktorisering. Hvis vi omskriver ligningerne i modsat rækkefølge, kan vi se, hvordan vi faktoriserer polynomier på formen

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

Vi kan bruge den første ligning til at faktorisere

x^{2} + 10 x + 25

. Her har vi

a = x

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

Udtryk som dette kaldes henholdsvis første og anden kvadratsætning. Navnet kommer fra det faktum, at andengradspolynomiet kan udtrykkes som et kvadrat.

Lad os kigge på nogle eksempler, hvor vi faktoriserer andengradspolynomier med disse kvadratsætninger.

Eksempel 1: Faktorisering af $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Læg mærke til, at både første og sidste led er kvadrattal:

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. Læg også mærke til, at det midterste led er det dobbelte produkt af de kvadrerede tal:

2 (x) (4) = 8 x

Dette fortæller os, at polynomiet passer til første kvadratsætning, og derfor kan vi bruge den ligning til at faktorisere.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

Her er

a = x

b = 4

. Vi kan faktorisere polynomiet på følgende måde:

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

Vi kan tjekke vores faktorisering ved at udregne

(x + 4)^{2}

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

Tjek din forståelse

1) Faktorisér $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) Faktorisér $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

Læg mærke til, at både første og sidste led er kvadrattal:

x^{2} = (x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Læg også mærke til, at det midterste led er to gange produktet af de kvadrerede tal:

2 (x) (3) = 6 x

Det betyder, at polynomiet svarer til kvadratet på en toleddet størrelse. Vi kan faktorisere det på følgende måde:

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

Bemærk, at fortegnet i det toleddede udtryk er negativt, da koefficienten foran

x

-leddet er negativt (anden kvadratsætning).

3) Faktorisér $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

Eksempel 2: Faktorisering af $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Det er ikke altid, at den ledende koefficient i et polynomium er

1

F. eks. i

4 x^{2} + 12 x + 9

er både første og sidste led kvadrattal:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Læg mærke til, at det midterste led er to gange produktet af de kvadrerede tal:

2 (2 x) (3) = 12 x

Fordi ovenstående forhold er tilstede, passer

4 x^{2} + 12 x + 9

til første kvadratsætning. Vi kan derfor bruge den til at faktorisere udtrykket.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

I dette tilfælde er

a = 2 x

b = 3

. Polynomiet faktoriseres på følgende måde:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Vi kan vores faktorisering ved at udregne

(2 x + 3)^{2}

Ja! Vi kan også faktorisere

4 x^{2} + 12 x + 9

ved at bruge grupperingsmetoden.

Lad os starte med at finde faktorer for

4 \cdot 9 = 36

, som lagt sammen giver

12

. Det må være tallene

6

6

, da

6 \cdot 6 = 36

6 + 6 = 12

Vi kan nu dele leddet

12 x

op i

6 x + 6 x

og bruge grupperingsmetoden til at faktorisere polynomiet:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & Gruppering af led \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Sæt største fælles faktor udenfor parentes \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & Fælles faktor! \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & Faktorisér ud 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

Men bemærk, at ved at genkende udtrykket

4 x^{2} + 12 x + 9

som første kvadratsætning, kan du spare tid på at faktorisere!

Tjek din forståelse

4) Faktorisér $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

5) Faktorisér $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

Læg mærke til, at både første og sidste led er kvadrattal:

4 x^{2} = (2 x)^{2}

25 = (5)^{2}

. Læg også mærke til, at det midterste led er to gange produktet af de kvadrerede tal:

2 (2 x) (5) = 20 x

Det betyder, at polynomiet svarer til kvadratet på en toleddet størrelse. Vi kan faktorisere det på følgende måde:

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

Bemærk, at fortegnet i det toleddede udtryk er negativt, da koefficienten foran

x

-leddet er negativt (anden kvadratsætning).

Udfordrende opgaver

6) Faktorisér $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7) Faktorisér $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra (Bibliotek)

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Introduktion: Faktorisering med første og anden kvadratsætning

Eksempel 1: Faktorisering af x2+8x+16‍

Tjek din forståelse

Eksempel 2: Faktorisering af 4x2+12x+9‍

Tjek din forståelse

Udfordrende opgaver

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: Faktorisering af $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

Eksempel 2: Faktorisering af $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍