Hovedindhold

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Modul 8: Introduktion til faktorisering

Introduktion til faktorer og delelighed

Introduktion til faktorer og delelighed

Lær hvad det vil sige, at et polynomium er en faktor i et andet polynomium, og hvad det vil sige, at et polynomium er deleligt med et andet polynomium.

Hvad du skal vide til denne lektion

Et et-leddet udtryk er et udtryk, som kan bestå af enten en konstant (et tal), en variabel, f.eks.

x

, opløftet i en potens, eller en kombination af de to, f.eks.

3 x^{2}

. Et polynomum (fler-leddet udtryk) er udtryk, som består af en sum af et-leddede udtryk, som f.eks.

3 x^{2} + 6 x - 1

Hvad vi skal lære i denne lektion

I denne lektion skal vi undersøge sammenhængen mellem faktorer og delelighed i polynomier, og vi skal også lære at afgøre, om et polynomium er en faktor i en anden.

Faktorer og delelighed af hele tal

Når vi ganger to hele tal sammen for at få et andet helt tal, så siger vi, at de to tal, som vi gangede sammen, er faktorer i det andet tal.

For eksempel: fordi

14 = 2 \cdot 7

, så ved vi, at

2

7

er faktorer i

14

Et helt tal er deleligt med et andet tal, hvis divisionen giver et helt tal.

For eksempel: fordi

\frac{15}{3} = 5

\frac{15}{5} = 3

, så er

15

deleligt med

3

5

. Men fordi

\frac{9}{4} = 2, 25

, så er

9

ikke deleligt med

4

Bemærk, at sammenhængen mellem faktorer og delelighed går begge veje:

Fordi

14 = 2 \cdot 7

(hvilket betyder, at

2

er en faktor i

14

), så ved vi, at

\frac{14}{2} = 7

(hvilket betyder, at

14

er deleligt med

2

\underset{2 er en faktor i 14}{\underset{⏟}{14 = 2 \cdot 7}} ⟶ \underset{14 er deleligt med 2}{\underset{⏟}{\frac{14}{2} = 7}}

Og fordi

\frac{15}{3} = 5

(hvilket betyder, at

15

er deleligt med

3

), så ved vi, at

15 = 3 \cdot 5

(hvilket betyder, at

3

er en faktor i

15

\underset{15 er deleligt med 3}{\underset{⏟}{\frac{15}{3} = 5}} ⟶ \underset{3 er en faktor i 15}{\underset{⏟}{15 = 3 \cdot 5}}

Der gælder generelt: Hvis

a

er en faktor i

b

, så er

b

deleligt med

a

, og omvendt.

Faktorer og delelighed af polynomier

Denne viden kan også anvendes til polynomier.

Når to, eller flere, polynomier bliver ganget sammen, kalder vi hver af disse polynomier for faktorer i produktet.

For eksempel:

2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x

. Det betyder, at

2 x

x + 3

er faktorer i

2 x^{2} + 6 x

Når et polynomium er deleligt med et andet polynomium, så er kvotienten også et polynomium.

For eksempel: fordi

\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x

\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x

, så er

6 x^{2}

deleligt med

3 x

2 x

. Men fordi

\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}

, så er

4 x

ikke deleligt med

2 x^{2}

Den samme sammenhæng mellem faktorer og deleligheden som vi kom frem til med tallene, kan også bruges her:

\underset{2 x er en faktor i 2 x^{2} + 6 x}{\underset{⏟}{2 x \cdot (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x}} ⟶ \underset{2 x^{2} + 6 x er deleligt med 2 x}{\underset{⏟}{\frac{2 x^{2} + 6 x}{2 x} = x + 3}}

\underset{6 x^{2} er deleligt med 3 x}{\underset{⏟}{\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x}} ⟶ \underset{3 x er en faktor i 6 x^{2}}{\underset{⏟}{3 x \cdot (2 x) = 6 x^{2}}}

Generelt kan man sige, at hvis

p = q \cdot r

for polynomierne

p

q

r

, så ved vi følgende:

$q$ ‍ og $r$ ‍ er faktorer i $p$ ‍.
$p$ ‍ er deleligt med $q$ ‍ og $r$ ‍.

Tjek din forståelse

1) Færdiggør nedenstående sætning for sammenhængen $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

, og

3 x^{2} + 6 x

x + 2

2) En lærer skriver følgende produkt på tavlen:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

Michael konkluderer, at

3 x^{2}

er en faktor i

12 x^{3}

Julia konkluderer, at

12 x^{3}

er deleligt med

4 x

Hvem har ret?

Bestemmelse af faktorer og delelighed

Eksempel 1: Er $24 x^{4}$ ‍ deleligt med $8 x^{3}$ ‍?

For at svare på dette spørgsmål, kan vi reducere

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. Hvis resultatet er en et-leddet størrelse, så er

24 x^{4}

deleligt med

8 x^{3}

. Hvis resultatet ikke er en et-leddet størrelse, så er

24 x^{4}

ikke deleligt med

8 x^{3}

\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}

Fordi resultatet er en et-leddet størrelse, så er

24 x^{4}

deleligt med

8 x^{3}

. (Det betyder samtidig, at

8 x^{3}

er en faktor i

24 x^{4}

Eksempel 2: Er $4 x^{6}$ ‍ en faktor i $32 x^{3}$ ‍?

Hvis

4 x^{6}

er en faktor i

32 x^{3}

, så er

32 x^{3}

deleligt med

4 x^{6}

. Så lad os prøve at reducere

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}

Bemærk, at leddet

\frac{8}{x^{3}}

ikke er en et-leddet størrelse, da det er en kvotient, ikke et produkt. Derfor kan vi konkludere, at

4 x^{6}

ikke er en faktor i

32 x^{3}

Opsummering

Generelt kan man sige, at hvis et polynomium,

p

, er deleligt med et andet polynomium,

q

, eller hvis

q

er en faktor i

p

, så kan vi bestemme

\frac{p (x)}{q (x)}

Hvis udtrykket reduceret giver et polynomium, så er

p

deleligt med

q

, og

q

er en faktor i

p

Tjek din forståelse

3) Er $30 x^{4}$ ‍ deleligt med $2 x^{2}$ ‍?

4) Er $12 x^{2}$ ‍ en faktor i $6 x$ ‍?

Udfordrende opgaver

5*) Hvilke af følgende et-leddede størrelser er faktorer i $15 x^{2} y^{6}$ ‍ ?

	Faktor	Ikke faktor
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

Vi kan afgøre, om en et-leddet størrelse,

A

, er en faktor i

15 x^{2} y^{6}

ved at dividere

15 x^{2} y^{6}

med

A

og kigge på kvotienten:

Lad os prøve det med de givne et-leddede størrelser!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

Fordi

3 x y^{6}

5 y

begge er et-leddede størrelser, kan vi konkludere, at

5 x

3 x^{2} y^{5}

er faktorer i

15 x^{2} y^{6}

Bemærk, at leddet

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

har

x^{2}

i nævneren, så derfor er det ikke en et-leddet størrelse. Derfor kan vi konkludere, at

10 x^{4} y^{3}

ikke er en faktor i

15 x^{2} y^{6}

6*) Arealet af et rektangel med en bredde på

x + 1

enheder og en længde på

x + 4

enheder er

x^{2} + 5 x + 4

kvadratenheder.

Hvilke af følgende udtryk er faktorer i $x^{2} + 5 x + 4$ ‍?

Hvorfor er vi interesserede i at faktorisere polynomier?

Ligesom faktorisering af tal har vist sig at være brugbart, så er faktorisering af polynomier også et vigtigt værktøj, som kan bruges i mange sammenhænge!

Det er særligt med brugbart i forhold til løsning af andengradsligninger og reducering af rationale udtryk.

Hvis du vil se eksempler på det, så tjek følgende artikler:

Hvad er næste skridt?

Næste skridt er at lære at faktorisere et-leddede udtryk. Det kan du lære mere om i vores næste artikel.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra (Bibliotek)

Emne: (Algebra (Bibliotek) > Emne 10

Hvad du skal vide til denne lektion

Hvad vi skal lære i denne lektion

Faktorer og delelighed af hele tal

Faktorer og delelighed af polynomier

Tjek din forståelse

Bestemmelse af faktorer og delelighed

Eksempel 1: Er 24x4‍ deleligt med 8x3‍ ?

Eksempel 2: Er 4x6‍ en faktor i 32x3‍ ?

Opsummering

Tjek din forståelse

Udfordrende opgaver

Hvorfor er vi interesserede i at faktorisere polynomier?

Hvad er næste skridt?

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: Er $24 x^{4}$ ‍ deleligt med $8 x^{3}$ ‍?

Eksempel 2: Er $4 x^{6}$ ‍ en faktor i $32 x^{3}$ ‍?