If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Positive og negative intervaller for polynomier

Lær om sammenhængen mellem nulpunkterne i et polynomium og de intervaller, hvor det er positivt og negativt.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Nulpunkterne i polynomiet f svarer til skæring med x-aksen af grafen for ligningen y=f(x).
Lad os se på et eksempel. Da funktionen f(x)=(x+3)(x1)2 har nulpunkterne 3 og 1, så vil grafen for ligningen, y=f(x), have skæring med x-aksen i punkterne (3,0) og (1,0).
Hvis dette er nyt for dig, så læs artiklen Nulpunkter i polynomier og deres grafer.

Hvad du kan lære i dette modul

Selvom skæring med x-aksen er en vigtig egenskab at kende, så er det ikke nok information til at kunne skitsere grafen for en funktion.
Det hjælper at kende funktionens fortegn mellem to nulpunkter, når grafen skal skitseres.
I denne artikel skal vi lære at lave en fortegnsundersøgelse, der viser i hvilke intervaller funktionsværdien af polynomiet er negativ eller positiv, samt hvordan dette kan bruges til at skitsere grafen for funktionen.

Positive og negative intervaller

Funktionsværdien mellem to på hinanden følgende nulpunkter er altid enten positiv eller negativ i hele dette interval.
Lad os se på grafen for funktionen f(x)=(x+1)(x1)(x3).
Vi kan se, at funktionsværdien for f(x) er ...
  • ...negativ i hele intervallet <x<1.
  • ...positiv i hele intervallet 1<x<1.
  • ...negativ i hele intervallet 1<x<3.
  • ...positiv i hele intervallet 3<x<.
Det er dog vigtigt at huske, et polynomium ikke nødvendigvis skifter fortegn mellem to nulpunkter.
Lad os se på grafen for funktionen g(x)=x(x+2)2.
Vi kan se, at funktionsværdien for g(x) er...
  • ...negativ i hele intervallet <x<2.
  • ...negativ i hele intervallet 2<x<0.
  • ...positiv i hele intervallet 0<x<.
Funktionsværdien for g(x) skifter altså ikke fortegn ved x=2.

Fortegnsundersøgelse af et polynomium

Lad os bestemme i hvilke intervaller fortegnet for funktionsværdien af f(x)=(x+3)(x1)2 er positivt og i hvilke det er negativt.
Funktionen f har nulpunkterne 3 og 1 og danner derfor tre intervaller. I hvert af disse intervaller er fortegnet for funktionsværdien af f konstant:
Lad os bestemme fortegnet af f i intervallet <x<3.
Fortegnet er enten positivt eller negativt i hele intervallet, så vi kan bestemme fortegnet ved at indsætte en enkelt værdi fra intervallet i funktionsforskriften for f. Da 4 ligger i intervallet, lad os finde f(4).
Da vi kun er interesseret i fortegnet, behøver vi ikke lave hele udregningen:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Bestem fortegnet for hver parentes.=()(+)Kvadratet på en negativ størrelse er positivt.=Negativ gange positiv er negativ.
Da f(4) er negativ, så er f(x) negativ i hele intervallet<x<3.
Vi kan lave den samme analyse af de andre intervaller.
Funktionens fortegnsvariation kan ses i tabellen nedenfor.
IntervalBeregnet funktionsværdi for f(x)Fortegn for fBeliggenhed af grafen forf
<x<3f(4)<0negativtUnder x-aksen
3<x<1f(0)>0positivtOver x-aksen
1<x<f(2)>0positivtOver x-aksen
Tabellens indhold stemmer overens med grafen for y=f(x).

Tjek din forståelse

1) g(x)=(x+1)2(x+6) har nulpunkter ved x=6 og x=1.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af g i intervallet 6<x<1?
Vælg 1 svar:

2) h(x)=(3x)(x+5)(x2) har nulpunkter ved x=5, x=2 og x=3.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af h(x) i intervallet 5<x<2?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

3*) Hvilken af følgende grafer kunne være grafen for g(x)=(x2)2(x+1)3?
Vælg 1 svar:

Bestemme positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning

I stedet for en fortegnsundersøgelse kan man også finde de positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning. Grafen kan laves ved at bruge viden om funktionens opførsel i plus og minus uendelig samt nulpunkternes multiplicitet.
Du kan læse mere i vores artikel Grafer for polynomier.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.