Ligningssystemer med en andengradsligning: en linje og en cirkel

Hvad er løsningerne til ligningssystemet y = x + 1 og x² + y² = 25? Lad os først visualisere, hvad vi har med at gøre. Jeg vil forsøge at skitsere graferne for de to ligninger. y-aksen og x-aksen. Ligningen x² + y² = 25 er en cirkel med centrum i origo og en radius på 5. Det behøver du ikke vide for at løse opgaven, men det hjælper at visualisere den. Dette er 5 og dette er 5. Dette her er -5. Dette her er -5. Denne ligning bliver repræsenteret af disse punkter, eller disse punkter opfylder denne ligning. Sådan. Jeg forsøgte at tegne så rund en cirkel som muligt. y = x + 1 er en ret linje med hældningen 1 og skæring med y-aksen ved 1. Dette er 1, 2, 3, 4. Skæring med y-aksen er her og en hældning på 1, så den vil se nogenlunde således ud. Når vi skal finde løsningerne, så skal vi finde de punkter, der opfylder begge ligninger. De punkter, der opfylder dem begge, ligger på begge grafer. Det er disse to punkter. Hvordan finder vi dem så? Den nemmeste måde er ofte, at indsætte én ligning i den anden ligning. Da denne allerede er løst for y, så kan vi erstatte y i den blå ligning med x + 1. altså den ligning vi har her. I stedet for x² + y² = 25, så har vi x² + (x + 1)² = 25. Nu kan vi isolere x. Vi får x² + x² + 2x + 1 = 25. Nu samler jeg ens led. 2x² + 2x + 1 = 25. Nu kan vi bruge løsningsformlen, men så vi skal huske at ligningen skal have 0 på højre side. Lad os trække 25 fra på begge sider. Vi går 2x² + 2x - 24 = 0. Som kan reduceres ved at dividere med 2 på begge sider. Vi får x² + x - 12 = 0. Vi behøver faktisk ikke bruge løsningsformlen, da vi kan faktorisere. Hvilke to tal har et produkt, som er -12, og en sum, som er +1? Det er +4 og -3. Vi har derfor (x + 4)(x - 3) er lig 0. Hvis (x + 4) = 0, så er hele ligningen sand. Så x = -4 eller x = +3. Her er x = -4. Og her er x = 3. Vi er næsten færdige, nu skal vi blot finde de tilsvarende y-værdier. Vi vælger den mest enkle ligning, nemlig y = x + 1. Når x = -4, så bliver y = -4 + 1, som er -3. Dette punkt er (-4, -3). Tilsvarende når x = 3, så er y = 4. Dette er punktet (3, 4). Dette er de to løsninger til dette ikke-lineære ligningssystem.