Introduktion til inverse funktioner

. Lad os først se på, hvad funktioner er, og derefter skal vi se på, hvad inverse funktioner er. Lad os starte med en almindelig funktion. Lad os sige, at f af x er lig med 2x plus 4. Hvis vi skal finde f af 2, har vi altså 2 gange 2 plus 4. Det er 4 plus 4, som er 8. Vi kan også finde f af 3. Det er 2 gange 3 plus 4, og det giver 10. 6 plus 4. Lad os nu tænke lidt mere generelt over det. . Vi har altså nogle værdier, vi kan putte ind i vores funktion. De værdier kalder vi vores definitionsmængde. Det ord har vi snakket om før. Alle de ting, vi kan putte ind i vores funktion, er vores definitionsmængde. I vores definitionsmængde har vi altså 2, og vi har 3, og vi kan faktisk putte alle reelle tal ind i den her funktion. . Det er altså alle reelle tal, men vi har lavet den her cirkel for at visualisere definitionsmængden. Lad os nu se tænke over, hvad det betyder, når vi finder f af 2. Vi putter et tal, 2, ind i funktionen, og vi får et nyt tal ud, som her er 8. Vi går altså fra 2 til 8. Vi laver altså en anden mængde her, som indeholder alle de værdier, funktioner kan spytte ud. . Det sæt kalder vi værdimængden. De her mængder kan vi snakke længe om, og senere, når vi taler om lineær algebra, skal vi tale mere om dem. Det skal vi dog ikke nu. Hvis vi har tallet 2 i vores definitionsmængde og putter det ind i vores funktion, får vi 8 ud af funktionen. Lad os tegne det. Vi går altså fra 2 til tallet 8 her. Det er det, funktionen gør for os. Funktionen tager os fra et tal i definitionsmængden til et i værdimængden. Den her funktion tager os altså fra 2 til 8. Det her er lig med f af 2. . Her starter vi ved 3, og funktionen tager os fra 3 til 10. Funktionen skaber altså en sammenhæng. Den tager os fra 3 til 10. Nu kan vi stille et interessant spørgsmål. Er der en måde at komme tilbage fra 8 til 2 eller fra 10 til 3? Er der en anden funktion, der kan gøre det? Er der en sådan omvendt funktion eller en invers funktion? . Er der en anden funktion, der kan tage os fra 10 tilbage til 3? Det er der, og vi kalder det for den inverse funktion af f. Det skriver vi sådan her. Den vil tage os tilbage fra 10 til 3. Hvordan kan vi finde frem til den? Det er også interessant, om den funktion, f invers, også vil tage os tilbage fra 8 til 2. . Det her virker måske meget abstrakt og svært, men det er faktisk ret let at finde en invers funktion til f, og når vi begynder på det, vil det være tydeligt, hvad alt det her betyder. Når en funktion tager os fra 2 til 8, vil den inverse funktion altså tage os fra 8 til 2. Lad os tænke over det. Lad os starte med at sige, at y er lig med f af x. . y er altså lig med f af x, som er lig med 2x plus 4. Vi kan altså skrive, at y er lig med 2x plus 4. Det er altså vores funktion. Hvis vi putter et x ind, får vi et y ud. Vi vil dog gøre det omvendt. Vi vil putte et y ind og få et x ud. For at få det skal vi udtrykke x ved y. Lad os gøre det. Vi kan starte med at trække 4 fra på begge sider af ligningen. Lad os skifte farve. Hvis vi gør det, får vi y minus 4 er lig med 2x, og nu kan vi dividere begge sider med 2, og vi får y over 2 minus 2. 4 divideret med 2 er 2. Er lig med x. Vi kan bytte rundt på siderne nu. Vi får x er lig med 1/2y, der er det samme som y over 2, minus 2. Nu har vi altså en funktion af y, som giver os et x. Det er præcis det, vi ville have. Vi vil have en funktion, der kan tage os tilbage til et x. Vi kan derfor sige, at det her er lig med f invers som en funktion af y. . Lad os skrive det lidt pænere her. VI siger f invers som en funktion af y. VI kan putte 10 og 8 ind i funktionen, så værdimængden er blevet til definitionsmængden for f invers. f invers som en funktion af y er lig med 1/2y minus 2. Vi startede altså med vores originale funktion y er lig med 2x plus 4. Der var y udtrykt ved x, derefter lavede vi lidt algebra, og vi udtrykte x ved y. Det er det, vi siger er vores inverse funktion af y. Det er her. Nu kan vi også bytte rundt på alle x'er og y'er. Vi kalder y'erne for x og omvendt, og derfor får vi en nye funktion, som vi kalder f invers af x. Den er lig med 1/2x minus 2. Det man skal gøre i sådan en opgave er altså at isolere x og derefter bytte rundt på x og y. Det er den letteste måde at gøre det på. Vi skal også se, hvad der sker, når man tegner grafen for funktionen og den inverse funktion. Vi laver derfor en graf her. . Senere skal vi også gennemgå nogle eksempler, hvor vi finder den inverse funktion. Først skal vi dog se generelt på det her. Funktionen tager os altså fra definitionsmængden til værdimængden, og den inverse funktion tager os tilbage igen. . Lad os tegne et koordinatsystem her. Det tegner vi her. . I den første funktion, 2x plus 4, vil y-skæringspunktet være 4. 1, 2, 3, 4. Her. Hældningen vil se sådan her ud. Hældningen er 2, så det vil se sådan her ud. Grafen vil komme til at se nogenlunde sådan her ud. Det er sådan, funktionen ser ud. Hvordan ser den her funktion ud? Hvordan ser den inverse funktion ud her? Det er også en funktion af x. Husk, at vi isolerede x, og så byttede vi rundt på x og y. Vi kan nu sige, at y er lig med f invers af x. Vores y-skæringspunkt er altså minus 2. 1, 2. Hældningen er 1/2. Hældningen ser sådan her ud. Lad os se, om vi kan tegne den. Linjen vil se nogenlunde sådan her ud. Hvordan er sammenhængen her? De ser ud som om, der er en sammenhæng. Det ser ud som om, at de her er blevet spejlet. Det vil være lidt tydeligere, hvad de er spejlet i, hvis vi tegner linjen y er lig med x. Linjen y er lig med x ser sådan her ud. Vi tegner den som en stiplet linje. . Vi har altså funktionen og dens inverse funktion, og de er spejlinger af hinanden i linjen y er lig med x. Det giver forhåbentlig mening. Lad os lige se på et eksempel her. . f af 0 er lig med 4. 0 hører sammen med 4 i vores funktion. Lad os nu se på den inverse funktion. f invers af 4 er lig med 0. I den inverse funktion hører 4 sammen med 0. Det er det, vi forventede. Funktionen tager os fra x til y, og når vi tager den inverse bytter vi rundt på x og y. Det er altså den omvendte situation, og derfor er funktionen spejlet i linjen y er lig med x. I det her eksempel vi lige har kigget på, tager funktionen os altså fra 0 til 4. Funktionen tager os fra 0 til 4. f af 0 er 4. Vi går altså fra 0 til 4, og den inverse funktion tager os fra 4 til 0. f invers tager os altså tilbage fra 4 til 0. Det så vi her. Når vi udregner f invers af 4 har vi 1/2 gange 4 minus 2, som er 0. I den næste videoer vil vi lave nogle eksempler, så det bliver lettere at forstå og løse opgaver, der handler om det her emne.