Introduktion til inverse funktioner

Lad os først se på, hvad funktioner er, og derefter skal vi se på, hvad inverse funktioner er. Lad os starte med en almindelig funktion. Lad os sige, at f(x) er lig med 2x + 4. Hvis vi skal finde f(2), har vi 2 · 2 + 4. Det er 4 + 4, som er 8. Vi kan også finde f(3). Det er 2 · 3 + 4, og det giver 10. 6 + 4. Lad os nu tænke lidt mere generelt over det. Vi har altså nogle værdier, vi kan putte ind i vores funktion. De værdier kalder vi definitionsmængden. Alle de ting, vi kan putte ind i funktionen, er definitionsmængden. I definitionsmængde har vi altså 2, og vi har 3. Vi kan faktisk putte alle reelle tal ind i den her funktion, men vi har lavet den her cirkel for at visualisere definitionsmængden. Lad os nu se tænke over, hvad det betyder, når vi bestemmer f(2)? Vi putter et tal, 2, ind i funktionen, og vi får et nyt tal ud, som her er 8. Vi siger altså vi mapper 2 til 8. Vi laver altså en anden mængde her, som indeholder alle de værdier, funktioner kan spytte ud. Det sæt kalder vi værdimængden. De her mængder kan vi snakke længe om, og senere, når vi taler om lineær algebra, skal vi tale mere om dem. Det skal vi dog ikke nu. Hvis vi har tallet 2 i vores definitionsmængde og putter det ind i vores funktion, mapper den til 8. Lad os tegne det. Vi går altså fra 2 til tallet 8 her. Det er det, funktionen gør for os. Funktionen tager os fra et tal i definitionsmængden til et i værdimængden. Funktionen mapper os fra 2 til 8. Det her er lig med f(2). Her starter vi ved 3, og funktionen tager os fra 3 til 10. Funktionen skaber altså en sammenhæng. Den tager os fra 3 til 10. Nu kan vi stille et interessant spørgsmål. Er der en måde at komme tilbage fra 8 til 2 eller fra 10 til 3? Er der en anden funktion, der kan gøre det? Er der en sådan omvendt funktion eller en invers funktion? Er der en anden funktion, der kan tage os fra 10 tilbage til 3? Det er der, og vi kalder det for den inverse funktion af f. Det skriver vi sådan her. Den vil tage os tilbage fra 10 til 3. Og vil den samme inverse funktion, tage os tilbage fra 8 til 2? Hvis vi indsætter 8 i den inverse funktion vil vi så få 2? Det her virker måske meget abstrakt og svært, men det er faktisk ret let at finde en invers funktion til f, og når vi begynder på det, vil det være tydeligt, hvad alt det her betyder. Når en funktion tager os fra 2 til 8, vil den inverse funktion altså tage os fra 8 til 2. Lad os tænke over det. Lad os starte med at sige, at y er lig med f(x). y er altså lig med f af x, som er lig med 2x + 4. Vi kan altså skrive, at y er lig med 2x + 4. Det er altså vores funktion. Hvis vi putter et x ind, får vi et y ud. Vi vil dog gøre det omvendt. Vi vil putte et y ind og få et x ud. For at få det skal vi løse for x med hensyn til y. Lad os gøre det. Vi kan starte med at trække 4 fra på begge sider af ligningen. Lad os skifte farve. Hvis vi gør det, får vi y - 4 = 2x, og nu kan vi dividere begge sider med 2, og vi får y / 2 - 2, da 4 divideret med 2 er 2 er lig med x. Vi kan bytte rundt på siderne nu. Vi får x er lig med ½ y, der er det samme som y / 2 - 2. Nu har vi altså en funktion af y, som giver os et x. Det er præcis det, vi ville have. Vi vil have en funktion, der kan mappe os tilbage til et x. Vi kan derfor sige, at det her er lig med f⁻¹ som en funktion af y. Lad os skrive det lidt pænere her. Vi siger f⁻¹ er en funktion af y, og vi kan komme 10 og 8 ind i funktionen, så værdimængden er blevet til definitionsmængden for f⁻¹. f⁻¹ som en funktion af y er lig med ½ y - 2. Vi startede altså med vores originale funktion y = 2x + 4, hvor vi isolerede x ved at bruge lidt algebra og det er det, der er den inverse funktion af y. Det er her. Nu kan vi også bytte rundt på alle x'er og y'er. Vi kalder y'erne for x og omvendt, og derfor får vi en nye funktion, som vi kalder f⁻¹(x). Den er lig med ½ x - 2. Det man skal gøre i sådan en opgave er altså at isolere x og derefter bytte rundt på x og y. Det er den letteste måde at gøre det på. Lad os se, hvad der sker, når man tegner grafen for funktionen og den inverse funktion. Vi laver derfor en graf her. Dernæst kan vi gennemgå nogle eksempler, hvor vi finder den inverse funktion. Funktionen tager os altså fra definitionsmængde til værdimængde, og den inverse funktion tager os tilbage igen. Hvis den eksisterer. Lad os tegne et koordinatsystem her. Det tegner vi her. I den første funktion, 2x + 4, er skæring med y-aksen 4. 1, 2, 3, 4. Her. Hældningen vil se sådan her ud. Hældningen er 2, så det vil se sådan her ud. Grafen vil komme til at se nogenlunde sådan her ud. Det er sådan, funktionen ser ud. Hvordan ser den her funktion ud? Hvordan ser den inverse funktion ud her? Det er også en funktion af x. Husk, at vi isolerede x, og så byttede vi rundt på x og y. Vi kan nu sige, at y er lig med f⁻¹ (x). Skæring med y-aksen er altså minus 2. 1, 2. Hældningen er 1/2. Hældningen ser sådan her ud. Lad os se, om vi kan tegne den. Linjen vil se nogenlunde sådan her ud. Hvordan er sammenhængen her? De ser ud som om, der er en sammenhæng. Det ser ud som om, de er blevet spejlet. Det vil være lidt tydeligere, hvis vi tegner linjen y er lig med x. Linjen y er lig med x ser sådan her ud. Vi tegner den som en stiplet linje. Dette er linjen y er lig med x. Vi har altså funktionen og dens inverse funktion, og de er spejlinger af hinanden i linjen y er lig med x. Det giver forhåbentlig mening. På denne linje er f(0) er lig med 4. Funktionen mapper 0 over i 4. Lad os nu se på den inverse funktion. f⁻¹ (4) er lig med 0. Den inverse funktion mapper 4 over i 0. Det er det, vi forventede. Funktionen tager os fra x til y, og når vi tager den inverse, bytter vi rundt på x og y, og derfor er funktionen spejlet i linjen y er lig med x. I det her eksempel vi lige har kigget på, tager funktionen os altså fra 0 til 4. Funktionen tager os fra 0 til 4. f af 0 er 4. Vi går altså fra 0 til 4, og den inverse funktion tager os fra 4 til 0. f⁻¹ tager os tilbage fra 4 til 0. Det så vi her. Når vi udregner f⁻¹ af 4 har vi ½ · 4 - 2, som er 0. I de næste videoer vil vi lave flere eksempler, så det bliver lettere at forstå og løse opgaver, der handler om det her emne.