Hovedindhold

Emne: (Algebra 1 > Emne 13

Modul 9: Strategier til faktorisering af andengradspolynomier

Faktorisering af andengradspolynomier på enhver form

Kombiner al den viden, som du har fået omkring faktoriseringen, så du kan faktorisere andengradspolynomier på enhver form.

Hvad du skal vide til denne lektion

De følgende faktoriseringsmetoder vil blive brugt i denne lektion:

Hvad du kan lære i dette modul

I denne artikel kommer du til at kombinere alle disse metoder for at kunne faktorisere enhver form for andengradspolynomier fuldstændigt.

Introduktion: Gennemgang af faktoriseringsmetoder

Metode	Eksempel	Hvornår kan det bruges?
Sæt største fælles faktor udenfor parentes	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Hvis alle led i polynomiet deler samme faktor.
Sum-produkt mønster	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	Hvis polynomiet er på formen $x^{2} + b x + c$ ‍ og $c$ ‍ har faktorer, der lagt sammen giver $b$ ‍.
Grupperingsmetoden	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	Hvis polynomiet er på formen $a x^{2} + b x + c$ ‍ og der er faktorer i $a c$ ‍, der lagt sammen giver $b$ ‍.
Første og anden kvadratsætning	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	Hvis første og sidste led er kvadrattal, og det midterste led er det dobbelte produkt af deres kvadratrødder.
Tredje kvadratsætning	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	Hvis første og sidste led er kvadrattal med modsat fortegn, og det midterste led mangler.

Opsamling på det hele

Når du får en opgave, hvor du skal faktorisere, får du sjældent at vide, hvilken metode du skal bruge. Det kan derfor være en god idé at lave en tjekliste, så du ved, hvilken metode, du skal bruge.

Her er et eksempel på en tjekliste med en række spørgsmål, som kan hjælpe med at finde ud af, hvordan man kan faktorisere andengradspolynomiumet.

Faktorisering af andengradspolynomier

Før du begynder enhver faktorisering, er det en fordel at skrive udtrykket på standardform - altså skrive leddet med den højeste eksponent først og derefter faldende.

Når du har gjort det, kan du gå videre til følgende liste med spørgsmål:

Spørgsmål 1: Er der en fælles faktor?
Hvis nej, gå videre til spørgsmål 2. Hvis ja, sæt største fælles faktor udenfor parentes og fortsæt til spørgsmål 2.

At sætte største fælles faktor udenfor parentes er et meget vigtigt skridt i forbindelse med faktorisering, da det gør tallene mindre. Det gør det også lettere at gennemskue, hvilket mønster vi har med at gøre!

Spørgsmål 2: Er der tale om subtraktion af to kvadrattal (f.eks. $x^{2} - 16$ ‍ eller $25 x^{2} - 9$ ‍)?
Hvis ja, brug tredje kvadratsætning

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

. Hvis nej, gå videre til spørgsmål 3.

Spørgsmål 3: Er der tale om kvadratet på første led plus/minus det dobbelte produkt plus kvadratet på andet led (f.eks. $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ eller $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)?
Hvis ja, skal du faktorisere ved at bruge første eller anden kvadratsætning

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

. Hvis nej, skal du gå videre til spørgsmål 4.

Spørgsmål 4:

a.) Er der et udtryk på formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Hvis nej, gå til spørgsmål 5. Hvis ja, gå til b).

b.) Er der faktorer i $c$ ‍, som lagt sammen giver $b$ ‍?
Hvis ja, faktoriser med sum-produkt mønstret. Hvis nej, kan andengradspolynomiet ikke faktoriseres yderligere.

Spørgsmål 5: Er der faktorer i $a c$ ‍, som lagt sammen giver $b$ ‍?
Hvis du er kommet her til, skal andengradspolynomiet være på formen

a x^{2} + b x + c

hvor

a \neq 1

. Hvis der er faktorer i

a c

, som lagt sammen giver giver

b

, så brug grupperingsmetoden. Hvis ikke, kan andengradspolynomiet ikke faktoriseres yderligere.

Ved at bruge denne tjekliste kan du altid sikre, at du har faktoriseret et andengradspolynomium fuldstændigt!

Når man faktoriserer fuldstændigt fortsætter man med at faktorisere, indtil man ikke kan faktorisere mere.

Lad os f.eks. kigge på polynomiet

2 x^{2} - 4 x - 16

. Det kan faktoriseres ved at sætte en fælles faktor på

2

udenfor parentes.

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

Men det er ikke fuldstændig faktoriseret, da

x^{2} - 2 x - 8

kan faktoriseres yderligere. Det sidste trin i faktoriseringen ser sådan her ud:

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

Nu kan vi ikke faktorisere yderligere, da vi har udtrykt polyonimet som et produkt af lineære faktorer, som ikke har en fælles faktor.

Så selvom

2 (x^{2} - 2 x - 8)

er en faktorisering af

2 x^{2} - 4 x - 16

, så er den fuldstændige faktorisering

2 (x - 4) (x + 2)

Lad os prøve at bruge tjeklisten til at løse et par opgaver.

Eksempel 1: Faktorisering af $5 x^{2} - 80$ ‍

Udtrykket allerede er på standard form. Vi kan derfor gå videre til tjeklisten.

Spørgsmål 1: Er der en fælles faktor?
Ja. SFF for

5 x^{2}

80

5

. Vi kan derfor sætte denne faktor udenfor parentes:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

Spørgsmål 2: Er der tale om subtraktion af to kvadrattal?
Ja.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

. Vi kan derfor bruge tredje kvadratsætning til at fortsætte faktoriseringen af polynomiet:

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Der er ikke flere andengradsudtryk tilbage. Vi har derfor faktoriseret polynomiet fuldstændigt.

Svaret er

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

Eksempel 2: Faktorisering af $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Andengradspolynomiet er igen på standardform. Lad os gå gennem tjeklisten!

Spørgsmål 1: Er der en fælles faktor?
Nej. Leddene

4 x^{2}

12 x

9

har ingen fælles faktor. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 2: Er der tale om subtraktion af to kvadrattal?
Nej. Der er et

x

-led, så det kan ikke lade sig gøre. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 3: Er der tale om kvadratet på første led plus/minus det dobbelte produkt plus kvadratet på andet led?
Ja. Det første led er et kvadrattal, da

4 x^{2} = (2 x)^{2}

, og det sidste led er også et kvadrattal, da

9 = (3)^{2}

. Og det midterste led er det dobbelte produkt af de kvadrerede tal, da

12 x = 2 (2 x) (3)

Vi kan bruge første kvadratsætning til at faktorisere andengradspolynomiet.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

Svaret er

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

Eksempel 3: Faktorisering af $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Dette udtryk er endnu ikke på standardform. Vi kan omskrive det til

3 x^{2} + 12 x - 63

og så gå videre til tjeklisten.

Spørgsmål 1: Er der en fælles faktor?
Ja. SFF for

3 x^{2}

12 x

63

3

. Vi kan sætte denne faktor udenfor parentes:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

Spørgsmål 2: Er der tale om subtraktion af to kvadrattal?
Nej. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 3: Er der tale om kvadratet på første led plus/minus det dobbelte produkt plus kvadratet på andet led?
Nej. Læg mærke til, at

21

ikke er et kvadrattal, så det her kan ikke blive kvadratet på en toleddet størrelse. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 4a: Er der et udtryk på formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Ja. Udtrykket

x^{2} + 4 x - 21

er netop på denne form.

Spørgsmål 4b: Er der faktorer i $c$ ‍, som lagt sammen giver $b$ ‍?
Ja. Der er faktorer i

- 21

, som lagt sammen giver

4

7 \cdot (- 3) = - 21

7 + (- 3) = 4

, kan vi fortsætte vores faktorisering på følgende måde:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Svaret er

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

Eksempel 4: Faktorisering af $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

Udtrykket er allerede på standardform.

Spørgsmål 1: Er der en fælles faktor?
Ja. SFF for

4 x^{2}

18 x

10

2

. Vi kan derfor sætte denne faktor udenfor parentes:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

Spørgsmål 2: Er der tale om subtraktion af to kvadrattal?
Nej. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 3: Er der tale om kvadratet på første led plus/minus det dobbelte produkt plus kvadratet på andet led?
Nej. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 4a: Er der et udtryk på formen $x^{2} + b x + c$ ‍?
Nej. Den ledende koefficient er

2

. Næste spørgsmål.

Spørgsmål 5: Er der faktorer i $a c$ ‍, som lagt sammen giver $b$ ‍?
Udtrykket er

2 x^{2} + 9 x - 5

, og vi leder derfor efter faktorer i

2 \cdot (- 5) = - 10

, som lagt sammen giver

9

(- 1) \cdot 10 = - 10

(- 1) + 10 = 9

er svaret ja.

Vi kan nu skrive det midterste led som

- 1 x + 10 x

og bruge gruppering til at faktorisere:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & Skriv det midterste led opdelt \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & Gruppering af led \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & Sæt SFF udenfor parentes \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & Sæt 2 x - 1 udenfor parentes \end{aligned}

Tjek din forståelse

1) Faktorisér $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ fuldstændigt.

2) Faktorisér $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ fuldstændigt.

3) Faktorisér $72 x^{2} - 2$ ‍ fuldstændigt.

4) Faktorisér $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ fuldstændigt.

5) Faktorisér $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ fuldstændigt.

6) Faktorisér $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ fuldstændigt.

7) Faktorisér $3 x^{2} + 27$ ‍ fuldstændigt.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 27 \\ = 3 (x^{2} + 9) & Sæt 3 udenfor parentes \end{aligned}

Udtrykket

x^{2} + 9

kan ikke faktoriseres yderligere.

Vi kan sikre os, at dette er rigtigt ved at skrive udtrykket som

x^{2} + 0 x + 9

. Da der ikke findes to tal hvis produkt giver

9

og lagt sammen giver

0

, kan dette udtryk ikke faktoriseres.

x^{2} + 9

er to kvadraters sum, og ikke to kvadraters differens. To kvadraters sum kan ikke faktoriseres med reelle tal.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 1

Emne: (Algebra 1 > Emne 13

Hvad du skal vide til denne lektion

Hvad du kan lære i dette modul

Introduktion: Gennemgang af faktoriseringsmetoder

Opsamling på det hele

Faktorisering af andengradspolynomier

Eksempel 1: Faktorisering af 5x2−80‍

Eksempel 2: Faktorisering af 4x2+12x+9‍

Eksempel 3: Faktorisering af 12x−63+3x2‍

Eksempel 4: Faktorisering af 4x2+18x−10‍

Tjek din forståelse

Vil du deltage i samtalen?

Eksempel 1: Faktorisering af $5 x^{2} - 80$ ‍

Eksempel 2: Faktorisering af $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

Eksempel 3: Faktorisering af $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

Eksempel 4: Faktorisering af $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍