If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Introduktion til logaritmer

Lær hvad logaritmer er, og hvordan man kan beregne dem.

Hvad du bør vide, inden du går i gang med denne lektion

Du skal være fortrolig med potenser, også helst med negative eksponenter.

Hvad skal vi lære i dette modul?

I dette modul skal du stifte bekendtskab med logaritmer og lære, hvordan du bestemmer deres værdi. Senere vil du lære at løse ligninger med logaritmer samt at arbejde med logaritmiske funktioner.

Hvad er en logaritme?

Man kan tænke på logaritmer som det omvendte af potenser.
Vi ved, at 2 opløftet til den 4. potens er lig med 16. Det kan også skrives som den eksponentielle ligning 24=16.
Hvis vi blev spurgt, "hvilken potens skal 2 opløftes til for at få 16?" Så ville svaret være 4. Det kan også skrives som den logaritmiske ligning log2(16)=4. (Man vil sige det som "2-tals-logaritmen til 16 er 4".)
24=16log2(16)=4
Begge ligninger beskriver den samme sammenhæng mellem tallene 2, 4 og 16, hvor 2 er grundtallet og 4 er eksponenten.
Forskellen er, at i den eksponentielle ligning isoleres potensen 16, hvorimod den logaritmiske ligning isolerer eksponenten 4.
Tabellen viser flere eksempler på sammenhængen mellem logaritmiske og eksponentielle ligninger.
Logaritmisk ligningEksponentiel ligning
log2(8)=323=8
log3(81)=434=81
log5(25)=252=25

Definitionen af en logaritme

Vi kan generalisere de ovenstående eksempler og skrive følgende definition af en logaritme.
logb(a)=cbc=a
Begge ligninger beskriver den samme sammenhæng mellem a, b og c:
  • b kaldes for grundtallet,
  • c kaldes for eksponenten og
  • a kaldes for argumentet.

En huskeregel

Når man omskriver en ligning på eksponentiel form til logaritmisk form, eller omvendt, så hjælper det at huske, at grundtallet i den logaritmiske ligning også er grundtallet i potensen.

Tjek din forståelse

I de følgende opgaver skal du omskrive ligninger på eksponentiel form til logaritmisk form, og omvendt.
Opgave 1
1) Hvilken af følgende ligninger er er tilsvarende med 25=32?
Vælg 1 svar:

Opgave 2
1) Hvilken af følgende ligninger er er tilsvarende med 53=125?
Vælg 1 svar:

Opgave 3
3) Skriv log2(64)=6 på eksponentiel form.

Opgave 4
4) Skriv log4(16)=2 på eksponentiel form.

Udregning af logaritmer

Godt! Nu da vi forstår sammenhængen mellem potenser og logaritmer, lad os lave nogle udregninger.
Lad os først udregne log4(64).
Først omskriver vi til en ligning, der indeholder x.
log4(64)=x
Dernæst omskrives ligningen til logaritmisk form:
4x=64
Hvilken potens skal 4 opløftes til for at give tallet 64? Da 43=64, så medfører det, at log4(64)=3.
Når du bliver mere øvet, kan du udregne log4(64) ved blot at spørge dig selv: "4 opløftet til hvilken potens er 64?"

Tjek din forståelse

Husk, når du udregner logb(a), skal du spørge: "b opløftet til hvilken potens er a?"
Opgave 5
log6(36)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 6
log3(27)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 7
log4(4)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Opgave 8
log5(1)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Udfordrende opgave
log3(19)=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

Tilladte værdier for de variable

logb(a) er defineret for alle positive værdier af grundtallet b — bortset fra 1 — og alle positive værdier af argumentet a. Disse betingelser er et resultat af sammenhængen mellem logaritmer og potenser.
BetingelseForklaring
b>0I en eksponential funktion er b per definition altid positiv.
a>0logb(a)=c svarer til bc=a. Et positiv tal opløftet til enhver potens altid er positivt, så bc>0, og dermed er a>0.
b1Lad os et øjeblik antage, at b kan være 1. Hvad sker der så med ligningen log1(3)=x? Den tilsvarende eksponentielle ligningen er 1x=3. Men den er ikke sand, da 1 opløftet til enhver potens altid er 1. Derfor følger b1.

Specielle logaritmer

Som vi har set kan logaritmer have forskellige grundtal, men der er to der bruges mere ofte end de øvrige.
Derfor har de fleste lommeregnere også knapper for disse specielle logaritmer.

10tals-logaritmen

10tals-logaritmen har grundtallet 10.
Hvis man undlader at angive grundtallet, så er det underforstået, at det er 10.
log10(x)=log(x)

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritme er en logaritme med grundtallet e.
Denne logaritme kan skrives på to måder; enten ved at angive grundtallet e eller som ln.
loge(x)=ln(x)
Tabellen nedenfor opsummerer, hvad vi bør vide om disse to logaritmer:
NavnGrundtalSkrivemådeSpeciel skrivemåde
10tals-logaritmen10log10(x)log(x)
Naturlige logaritmeeloge(x)ln(x)
Selvom disse to logaritmer har en speciel skrivemåde, så opfører de sig som de andre logaritmer!

Hvorfor skal vi lære om logaritmer?

Da logaritmer er det omvendte af potenser, så bruges logaritmer ofte til at løse eksponentielle ligninger.
For eksempel, ligningen 2x=5 kan omskrives til logaritmen x=log2(5). I de næste moduler vil du lære, hvordan man udregner værdien af dette udtryk.
Logaritmiske udtryk og funktioner er i sig selv meget spændende og er faktisk almindelige i verden omkring os. Mange fysiske fænomener måles ved at bruge en logaritmisk skala.

Hvad er næste skridt?

Vi skal lære forskellige logaritmeregneregler der kan bruges til omskrive logaritmiske udtryk samt lære hvordan man ændrer grundtal i en logaritme. Det sidste gør det muligt at udregne værdien af logaritmer på en almindelige lommeregner uanset deres grundtal.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.