If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 8

Modul 1: Introduktion til logaritmer
Matematik
Algebra 2
Logaritmer
Introduktion til logaritmer
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til logaritmer

Google Classroom
Lær hvad logaritmer er, og hvordan man kan beregne dem.

Hvad du bør vide, inden du går i gang med denne lektion

Du skal være fortrolig med potenser, også helst med negative eksponenter.

Hvad skal vi lære i dette modul?

I dette modul skal du stifte bekendtskab med logaritmer og lære, hvordan du bestemmer deres værdi. Senere vil du lære at løse ligninger med logaritmer samt at arbejde med logaritmiske funktioner.

Hvad er en logaritme?

Man kan tænke på logaritmer som det omvendte af potenser.
Vi ved, at start color #11accd, 2, end color #11accd opløftet til den start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript. potens er lig med start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Det kan også skrives som den eksponentielle ligning start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Hvis vi blev spurgt, "hvilken potens skal start color #11accd, 2, end color #11accd opløftes til for at få start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" Så ville svaret være start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Det kan også skrives som den logaritmiske ligning log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f. (Man vil sige det som "2-tals-logaritmen til 16 er 4".)
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Begge ligninger beskriver den samme sammenhæng mellem tallene start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f og start color #e07d10, 16, end color #e07d10, hvor start color #11accd, 2, end color #11accd er grundtallet og start color #0d923f, 4, end color #0d923f er eksponenten.
Forskellen er, at i den eksponentielle ligning isoleres potensen start color #e07d10, 16, end color #e07d10, hvorimod den logaritmiske ligning isolerer eksponenten start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Tabellen viser flere eksempler på sammenhængen mellem logaritmiske og eksponentielle ligninger.
Logaritmisk ligningEksponentiel ligning
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definitionen af en logaritme

Vi kan generalisere de ovenstående eksempler og skrive følgende definition af en logaritme.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Begge ligninger beskriver den samme sammenhæng mellem start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd og start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd kaldes for start color #11accd, start text, g, r, u, n, d, t, a, l, l, e, t, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f kaldes for start color #0d923f, start text, e, k, s, p, o, n, e, n, t, e, n, end text, end color #0d923f og
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 kaldes for start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, e, t, end text, end color #e07d10.

En huskeregel

Når man omskriver en ligning på eksponentiel form til logaritmisk form, eller omvendt, så hjælper det at huske, at grundtallet i den logaritmiske ligning også er grundtallet i potensen.

Tjek din forståelse

I de følgende opgaver skal du omskrive ligninger på eksponentiel form til logaritmisk form, og omvendt.
Opgave 1
1) Hvilken af følgende ligninger er er tilsvarende med 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Vælg 1 svar:

Opgave 2
1) Hvilken af følgende ligninger er er tilsvarende med 5, cubed, equals, 125?
Vælg 1 svar:

Opgave 3
3) Skriv log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 på eksponentiel form.

Opgave 4
4) Skriv log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 på eksponentiel form.

Udregning af logaritmer

Godt! Nu da vi forstår sammenhængen mellem potenser og logaritmer, lad os lave nogle udregninger.
Lad os først udregne log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Først omskriver vi til en ligning, der indeholder x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Dernæst omskrives ligningen til logaritmisk form:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
Hvilken potens skal 4 opløftes til for at give tallet 64? Da start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, så medfører det, at log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Når du bliver mere øvet, kan du udregne log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis ved blot at spørge dig selv: "4 opløftet til hvilken potens er 64?"

Tjek din forståelse

Husk, når du udregner log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, skal du spørge: "start color #11accd, b, end color #11accd opløftet til hvilken potens er start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Opgave 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Udfordrende opgave
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Tilladte værdier for de variable

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis er defineret for alle positive værdier af grundtallet b — bortset fra 1 — og alle positive værdier af argumentet a. Disse betingelser er et resultat af sammenhængen mellem logaritmer og potenser.
BetingelseForklaring
b, is greater than, 0I en eksponential funktion er b per definition altid positiv.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c svarer til b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Et positiv tal opløftet til enhver potens altid er positivt, så b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, og dermed er a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Lad os et øjeblik antage, at b kan være 1. Hvad sker der så med ligningen log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x? Den tilsvarende eksponentielle ligningen er 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Men den er ikke sand, da 1 opløftet til enhver potens altid er 1. Derfor følger b, does not equal, 1.

Specielle logaritmer

Som vi har set kan logaritmer have forskellige grundtal, men der er to der bruges mere ofte end de øvrige.
Derfor har de fleste lommeregnere også knapper for disse specielle logaritmer.

10tals-logaritmen

10tals-logaritmen har grundtallet 10.
Hvis man undlader at angive grundtallet, så er det underforstået, at det er 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritme er en logaritme med grundtallet e.
Denne logaritme kan skrives på to måder; enten ved at angive grundtallet e eller som natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Tabellen nedenfor opsummerer, hvad vi bør vide om disse to logaritmer:
NavnGrundtalSkrivemådeSpeciel skrivemåde
10tals-logaritmen10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Naturlige logaritmeelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Selvom disse to logaritmer har en speciel skrivemåde, så opfører de sig som de andre logaritmer!

Hvorfor skal vi lære om logaritmer?

Da logaritmer er det omvendte af potenser, så bruges logaritmer ofte til at løse eksponentielle ligninger.
For eksempel, ligningen 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 kan omskrives til logaritmen x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. I de næste moduler vil du lære, hvordan man udregner værdien af dette udtryk.
Logaritmiske udtryk og funktioner er i sig selv meget spændende og er faktisk almindelige i verden omkring os. Mange fysiske fænomener måles ved at bruge en logaritmisk skala.

Hvad er næste skridt?

Vi skal lære forskellige logaritmeregneregler der kan bruges til omskrive logaritmiske udtryk samt lære hvordan man ændrer grundtal i en logaritme. Det sidste gør det muligt at udregne værdien af logaritmer på en almindelige lommeregner uanset deres grundtal.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.