If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Introduktion til logaritmeregneregler

Lær logaritmeregnereglerne samt hvordan du bruger dem til at omskrive logaritmiske udtryk. For eksempel hvordan log₂(3a) omskrives.
1. logaritmeregellog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
2. logatimeregellog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
3. logaritmeregellog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Disse regler gælder for alle værdier af M, N og b, hvor hver logaritme er defineret, altså M, N, is greater than, 0 og 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Du bør vide, hvad logaritmer er. Hvis du ikke gør, så læs først artiklen Introduktion til logaritmer.

Hvad du kan lære i dette modul

Logaritmeregnereglerne kan, ligesom potensregnereglerne, bruges til at reducere og omskrive logaritmiske udtryk eller løse logaritmiske ligninger. I denne artikel skal vi se nærmere på tre af dem.
Lad os se på dem én af gangen.

1. logaritmeregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Logaritmen til et produkt er lig med logaritmen til den ene faktor plus logaritmen til den anden faktor.
Denne regel kan bruges til at omskrive udtryk, hvor logaritmer indgår.

Eksempel: Omskriv logaritmer ved brug af 1. logaritmeregel (produktreglen).

Det er altså muligt at omskrive en logaritme, så den består af summen af to eller flere logaritmer.
Lad os omskrive log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Argumentet i denne logaritme er et produkt af faktorerne start color #11accd, 5, end color #11accd og start color #1fab54, y, end color #1fab54, så vi kan bruge 1. logaritmeregel.
log6(5y)=log6(5y)=log6(5)+log6(y)1. logaritmeregel\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{1. logaritmeregel}}} \end{aligned}

Eksempel: Sammenskriv logaritmer ved at bruge 1. logaritmeregel

Det er ligeledes muligt at samle summen af to eller flere logaritmer til én logaritme.
Lad os omskrive log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Når to logaritmer har det samme grundtal (her 3), kan vi bruge 1. logaritmeregel den anden vej.
log3(10)+log3(x)=log3(10x)1. logaritmeregel=log3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{1. logaritmeregel}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

En vigtig bemærkning

Når vi samler logaritmiske udtryk ved at bruge 1. logaritmeregel, så skal hvert udtryk have det samme grundtal.
Det er derfor ikke muligt, at bruge denne regel til at samle log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Tjek din forståelse

1) Omskriv log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis.

2) Omskriv log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

2. logaritmeregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Logaritmen til en brøk er lig med logaritmen til tælleren minus logaritmen til nævneren:
Denne regel kan ligeledes bruges til at omskrive udtryk, hvor logaritmer indgår.

Eksempel: Omskriv logaritmer ved brug af 2. logaritmeregel (kvotientreglen)

Lad os omskrive log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, så den bliver til differensen mellem to logaritmer.
log7(a2)=log7(a)log7(2)2. logaritmeregel\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{2. logaritmeregel}}} \end{aligned}

Eksempel: Sammenskriv logaritmer ved at bruge 2. logaritmeregel

Lad os omskrive log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Når de to logaritmer har det samme grundtal (her 4), kan vi bruge den 2. logaritmeregel.
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)2. logaritmeregel\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{2. logaritmeregel}}} \end{aligned}

En vigtig bemærkning

Når vi samler logaritmiske udtryk med den 2. logaritmeregel, så skal hvert udtryk have det samme grundtal.
Det er derfor ikke muligt, at bruge denne regel til at samle log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Tjek din forståelse

3) Omskriv log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Omskriv log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

3. logaritmeregel: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Logaritmen til en potens er lig med eksponenten gange logaritmen til grundtallet.
Denne regel kan ligeledes bruges til at omskrive udtryk, hvor logaritmer indgår.

Eksempel: Omskrive logaritmer ved at bruge 3. logaritmeregel (potensreglen)

Det er altså muligt at omskrive logaritmen til en potens, så det bliver produktet af eksponenten og en anden logaritme.
Lad os skrive log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis uden en potens.
log2(x3)=3log2(x)3. logaritmeregel=3log2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{3. logaritmeregel}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Eksempel: Sammenskriv logaritmer ved at bruge 3. logaritmeregel

Det er altså muligt at omskrive produktet af et tal og en logaritme til logaritmen af en potens.
Lad os omskrive 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Når vi bruger den 3. logaritmeregel kan alle reelle tal bruges som eksponent.
4log5(2)=log5(24)3. logaritmeregel=log5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{3. logaritmeregel}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Tjek din forståelse

5) Omskriv log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) Omskriv 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Udfordrende opgaver

For at løse følgende opgaver, skal du bruge mere en én regel per opgave. Se, om du kan løse dem.
7) Hvilket af nedenstående udtryk er tilsvarende med log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

8) Hvilket af nedenstående udtryk er tilsvarende med 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.