Fortolkning af udtryk med flere variable: Cylinder

Vi får at vide, når højden h og rumfanget V af en vis cylinder er givet, så bruger Jill formlen r er lig kvadratroden af V/𝜋⋅h til at udregne dens radius til at være 20 meter. Hvis en anden cylinder har det samme rumfang som den første cylinder, men er 100 gange så høj hvad er så dens radius? Sæt videoen på pause og se om du kan finde ud af det. Okay, lad os lave den sammen. Først vil jeg se på opgaven rent logisk. Lad os sige den første cylinder ser nogenlunde således ud. Og den anden cylinder er 100 gange så høj. Jeg vil have svært ved at tegne noget, der er 100 gange højere. Men den har samme rumfang, så den må være en del tyndere. Hvis du vil bibeholde rumfanget og du laver den højere, og jeg er ikke engang tæt på 100 gange så høj her, så bliver du nødt til at mindske radius. Vi kan derfor forvente, at radius er en god del mindre end 20 meter. Det var blot en gennemgang for at give et bud på svaret. Vi får ikke et svar, der er større end 20 meter. Men hvordan finder vi ud af, hvad svaret kan være? Vi går tilbage til formlen. Vi ved, at Jill udregnede radius til at være 20 meter. Derfor er 20 lig med kvadratroden af V/𝜋⋅h. Hvis denne formel er ny for dig, så skal du blot huske at rumfanget af en cylinder er arealet af toppen eller bunden, så 𝜋⋅r² gange højden, h. Hvis du løser denne for r, så har vi den samme formel som Jill brugte. Dette er ikke en ny formel. Du har sikkert set den før. Vi ved, at 20 meter er lig dette og nu har vi en situation, hvor højden er 100 gange større. Så den anden cylinder skal have en radius, der er kvadratroden af V er det det samme, så jeg skriver blot V her. 𝜋 ændrer sig ikke. Det vil altid være 𝜋. Men nu i stedet for h, så skal den være 100 gange højere. Vi kan derfor skrive 100h. Kan dette skrives på en anden måde? Jeg vil prøve at sæte 100 uden for, så jeg stadig har kvadratroden af V/𝜋⋅h. Jeg kan skrive dette som kvadratroden af 1/100 gange V/𝜋⋅h. Det kan jeg skrive som kvadratroden af 1/100 -- jeg bruger blot potensregnereglerne -- gange kvadratroden af V/𝜋⋅h. Vi ved, hvad kvadratroden af V/𝜋⋅h er. Vi ved, det er 20 og vores enhed er i meter. Dette er 20. Hvad er kvadratroden af 1/100? Det er det samme som 1 over kvadratroden af 100, som skal ganges med 20. Kvadratroden af 100 er 10. Radius af den nye cylinder, den anden cylinder er 1/10 af 20, som er lig 2 meter. Og vi er færdige. Den anden cylinder har en radius på 2 meter, hvilket stemmer overens med vores forventning. Hvis vi øger højden med en faktor på 100, så mindskes radius med en faktor på 10. Grunden til det er, at du tager kvadratet på radius her. Hvis højden stiger med en faktor på 100, og radius mindskes med en faktor på 10, så vil hele dette udtryk stadig have det samme rumfang.