Multiplikation af polynomier med negative led: arealmodel

I tidligere videoer har vi allerede brugt arealmodeller til at gange udtryk sammen, som x + 7 gange x + 3. I disse videoer så vi, at dette kunne visualiseres som arealet af et rektangel, hvor længden er opdelt, så en del har længden x og den anden del har længden 7. Den samlede længde er x + 7. Og den samlede længde af denne side er x plus 3. Arealmodellen bruges altså til at visualisere, hvorfor vi ganger de forskellige led og hvordan vi ganger dem sammen. Fordi hele arealet er x + 7 gange x + 3, som kan opdeles i disse mindre rektangler. Dette rektangel, som er et kvadrat, har et areal på x². Dette her har et areal på 7x, 7 gange x. Dette har et areal på 3x. Og dette har et areal på 3 gange 7, eller 21. Vi kan finde det samlede areal, ved at sige x² + 7x + 3x + 21. Det er hele rektanglets areal. Vi kan naturligvis lægge 7x til 3x og få 10x. Men nu tænker du måske, at dette er fint, når du har plus 7 og plus 3. Du har positive længder og positive arealer. Men hvad hvis du ikke har? Hvad nu hvis vi har negative fortegn? Hvad nu, hvis vi prøver at gøre det samme, men længden herover er nu x - 7. Lad os prøve det. Denne længde er nu -7 Den har nu en længde på -7. Vi er ikke vant til, at længder er negative, men lad os blot fortsætte. Højden herover, lad os sige, den er x - 3, så jeg skriver x her, som en del af højden og denne del er nu -3. Lad os fortsætte som før, så bliver dette areal x². Dette areal bliver -7 gange x, som er -7x. Dette grønne areal bliver -3x. Og det orange areal bliver -3 gange -7, som er plus 21. Så hele arealet bliver x² - 7x - 3x + 21. Igen, vi kan samle disse to og få -10x. Giver det mening? Man kan tænke på et negativt areal, som et areal der fjernes fra et samlet areal. Så hvis x er et positivt tal, så vil dette lyserøde areal være negativt, og det skal fjernes fra det samlede areal. Det er præcis, hvad der sker i dette udtryk. Det er også værd at nævne, at før, da det ikke var -7 men +7, så dette var +7x så kunne x være negativ, og du ville have haft et negativt areal. For bedre at se, hvad der sker selv med negative tal, så er her endnu et eksempel. Hvad hvis x er lig med 10. hvad så? Hvis x er lig med 10, så vil arealmodellen se sådan her ud. Vi har 10 - 7, jeg skriver -7 lige her, gange 10 - 3. Nu kan vi i hovedet regne ud af, hvad det bliver. 10-7 er 3. 10-3 er 7. Det bliver i alt plus 21. Lad os tjekke om det er rigtigt. Dette blå område er 10 gange 10, så 100. Det lyserøde område er 10 gange -7, som er -70, som vi skal fjerne fra det samlede areal. Det grønne areal er -3 gange 10, som er -30. Så er der -3 gange -7, det orange omåde har et areal på plus 21. Passer det? Vi tager dette positive areal på 100 minus 70 minus 30 og så plus 21. 100 minus 70 er 30 minus 30. Det er 0, så der er 21 tilbage, som forventet. Du kunne flytte dette lyserøde område herover og trække det fra det blå område, og vende det grønne område om og trække det fra resten af det blå område, og til sidst er der det orange område tilbage. Jeg håber dette hjælper dig med at se, at arealmodeller også virker ved multiplikation med negative led. Og husk disse x'er kan også være negative.