Faktorisering ved at bruge lang division af polynomier

Vi får at vide, at den polynomielle p(x) er lig med 4x³ + 19x² + 19x - 6 og har faktoren (x + 2). Omskriv p(x) som et produkt af lineære faktorer. Sæt videoen på pause, og prøv selv. Okay, lad os lave den sammen. Hvis de ikke havde givet os denne information, at den har faktoren (x + 2), så ville dette polynomium ikke have været nemt at faktorisere. Men fordi vi kender faktoren (x + 2), så kan jeg dividere vores udtryk med det og se, hvad jeg har tilbage og måske faktorisere videre derfra. Lad os gøre det. Lad os dividere x + 2 op i vores polynomium 4x³ + 19x² + 19x - 6. Vi har gjort dette mange gange. Vi starter med højestegradsleddene. x går op i 4x³ 4x² gange, Det skriver jeg på x²-pladsen. 4x² gange x er 4x³. 4x² gange 2 er 8x². Nu skal jeg trække disse fra hvad jeg har her. Så jeg laver minuser. Tilbage har jeg 19x² - 8x² som er 11x². Så tager jeg 19x ned. plus 19x. Igen så ser jeg kun på x og 11x². x går op i 11x² 11x gange. plus 11x. 11x gange x er 11x². 11x gange 2 er 22x. Skal trække disse fra det i turkis. Tilbage har vi 19 minus 22 af noget er -3 noget. Her -3x. Lad os tage -6 ned. Igen vi ser på x og -3x. x går op i -3x -3 gange. -3 gange x er -3x. -3 gange 2 er -6. Nu vil vi trække det i rødt fra det i lilla. Jeg kan gange dem begge med -1 og alt går ud med hinanden, så der er ingen rest. Nu kan vi skrive p(x) som værende lig med (x +2) gange alt dette, 4x² + 11x - 3. Vi er ikke færdige, da vi ikke har omskrevet det til et produkt af lineære faktorer. Denne her er lineær, men 4x² + 11x - 3, er et andengradspolynomium. Vi skal faktorisere noget mere. Vi kan gribe det an på et par måder. Jeg tror gruppering vil være nemmest. Jeg vælger at faktorisere med gruppering, fordi vi har en ledende koefficient, der ikke er 1. Vi skal finde to tal med et produkt, der er lig med 4 gange -3. Lad os kalde dem a og b. a gange b skal være lig med 4 gange -3, altså -12. a + b skal være lig med 11. Jeg går ud fra de skal have modsat fortegn, da deres produkt har et negativt fortegn. Hvis jeg har +12 og -1, så går den. a er lig med -1 og b er lig med +12. Sådan. Dernæst vil jeg tage dette førstegradsled 11x og opdele det som 12x og -1x. Lad os gøre det. Lad os kun skrive denne del nu, så kan vi samle det hele til sidst. Jeg kan omskrive dette til 4x² -- i stedet for 11x, så skriver jeg med blåt, så opdeles det til +12x og -1x. Disse har stadig summen 11x. Til sidst har jeg -3. Ud af de første to, hvad kan jeg sætte udenfor parentes her? Jeg kan sætte 4x udenfor, så de to første kan jeg skrive som -- hvis dette er nyt, så opfordrer jeg dig til at se noget om faktorisering og gruppering på Khan Academy -- Hvis jeg sætter 4x udenfor, så har vi x tilbage her og 3 tilbage her. Disse to led her, hvis vi sætter -1 udenfor parentes, og jeg skriver -1 gange, så har vi x + 3 tilbage. Nu kan vi faktorisere x + 3. Lad os gøre det. Jeg løber tør for nye farver. Jeg faktoriserer (x + 3), og så har jeg (x + 3) gange -- jeg bruge de samme farver, så du ved hvor ting kommer fra -- 4x - 1. Meget farverig løsning vi har lavet her. Men sådan. Jeg faktoriserede den anden del til disse to faktorer. Nu kan jeg skrive det hele. Jeg kan omskrive p(x) som et produkt af lineære faktorer. p(x) er lig med (x + 2) (x + 3) (4x - 1). Og vi er færdige.