If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 2: Positive og negative intervaller for polynomier
Matematik
Algebra 2
Grafer for polynomier
Positive og negative intervaller for polynomier
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Positive og negative intervaller for polynomier

Google Classroom
Lær om sammenhængen mellem nulpunkterne i et polynomium og de intervaller, hvor det er positivt og negativt.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Nulpunkterne i polynomiet f svarer til skæring med x-aksen af grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Lad os se på et eksempel. Da funktionen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared har nulpunkterne minus, 3 og 1, så vil grafen for ligningen, y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, have skæring med x-aksen i punkterne left parenthesis, minus, 3, comma, 0, right parenthesis og left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis.
Hvis dette er nyt for dig, så læs artiklen Nulpunkter i polynomier og deres grafer.

Hvad du kan lære i dette modul

Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 komma 0.
Selvom skæring med x-aksen er en vigtig egenskab at kende, så er det ikke nok information til at kunne skitsere grafen for en funktion.
Det hjælper at kende funktionens fortegn mellem to nulpunkter, når grafen skal skitseres.
I denne artikel skal vi lære at lave en fortegnsundersøgelse, der viser i hvilke intervaller funktionsværdien af polynomiet er negativ eller positiv, samt hvordan dette kan bruges til at skitsere grafen for funktionen.

Positive og negative intervaller

Funktionsværdien mellem to på hinanden følgende nulpunkter er altid enten positiv eller negativ i hele dette interval.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Tre punkter er afbildet. De ligger alle på x aksen og er mærket minus 1 komma 0 og 1 komma 0 og 3 komma 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf mærket y er lig med f af x er vist. Grafen kommer op fra venstre går gennem minus 1 komma 0 vender og går nedad gennem 1 komma 0 vender igen og går gennem 3 komma 0. Fra minus uendelig til minus 1 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 1 til 1 ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn. Fra 1 til 3 ligger grafer under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra 3 til uendelig ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn.
Lad os se på grafen for funktionen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
Vi kan se, at funktionsværdien for f, left parenthesis, x, right parenthesis er ...
  • ...negativ i hele intervallet minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
  • ...positiv i hele intervallet minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
  • ...negativ i hele intervallet 1, is less than, x, is less than, 3.
  • ...positiv i hele intervallet 3, is less than, x, is less than, infinity.
Det er dog vigtigt at huske, et polynomium ikke nødvendigvis skifter fortegn mellem to nulpunkter.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 2 komma 0 og 0 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf mærket y er lig med g af x er vist. Grafen kommer op fra venstre rører x aksen ved minus 2 komma 0 vender og går nedad, vender igen og går opad gennem 0 komma 0. Fra minus uendelig til minus 2 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 2 til 0 ligger grafen stadig under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra 0 til uendelig ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn.
Lad os se på grafen for funktionen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
Vi kan se, at funktionsværdien for g, left parenthesis, x, right parenthesis er...
  • ...negativ i hele intervallet minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
  • ...negativ i hele intervallet minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
  • ...positiv i hele intervallet 0, is less than, x, is less than, infinity.
Funktionsværdien for g, left parenthesis, x, right parenthesis skifter altså ikke fortegn ved x, equals, minus, 2.

Fortegnsundersøgelse af et polynomium

Lad os bestemme i hvilke intervaller fortegnet for funktionsværdien af f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared er positivt og i hvilke det er negativt.
Funktionen f har nulpunkterne minus, 3 og 1 og danner derfor tre intervaller. I hvert af disse intervaller er fortegnet for funktionsværdien af f konstant:
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 komma 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt og opdeler x aksen i tre intervaller. Fra venstre mod højre er de mærket x er større end minus uendelig og mindre end minus 3. x er strørre end minus 3 og mindre end 1. x er større end 1 og mindre end uendelig.
Lad os bestemme fortegnet af f i intervallet minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Fortegnet er enten positivt eller negativt i hele intervallet, så vi kan bestemme fortegnet ved at indsætte en enkelt værdi fra intervallet i funktionsforskriften for f. Da minus, 4 ligger i intervallet, lad os finde f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Da vi kun er interesseret i fortegnet, behøver vi ikke lave hele udregningen:
f(x)=(x+3)(x−1)2f(−4)=(−4+3)(−4−1)2=(−)(−)2Bestem fortegnet for hver parentes.=(−)(+)Kvadratet pa˚ en negativ størrelse er positivt.=−Negativ gange positiv er negativ.\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Bestem fortegnet for hver parentes.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Kvadratet på en negativ størrelse er positivt.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Negativ gange positiv er negativ.}}} \end{aligned}
Da f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis er negativ, så er f, left parenthesis, x, right parenthesis negativ i hele intervalletminus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Vi kan lave den samme analyse af de andre intervaller.
Funktionens fortegnsvariation kan ses i tabellen nedenfor.
IntervalBeregnet funktionsværdi for f, left parenthesis, x, right parenthesisFortegn for fBeliggenhed af grafen forf
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0negativtUnder x-aksen
minus, 3, is less than, x, is less than, 1f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0positivtOver x-aksen
1, is less than, x, is less than, infinityf, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0positivtOver x-aksen
Tabellens indhold stemmer overens med grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 3 komma 0 og 1 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. En graf kommer op fra venstre går gennem minus 3 komma 0 vender og går nedad rører x aksen ved 1 komma 0, vender og går opad. Fra minus uendelig til minus 3 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 3 til 1 ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn. Fra 1 til uendelig ligger grafen stadig over x aksen og er mærket med et plus tegn.

Tjek din forståelse

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis har nulpunkter ved x, equals, minus, 6 og x, equals, minus, 1.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af g i intervallet minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?
Vælg 1 svar:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis har nulpunkter ved x, equals, minus, 5, x, equals, 2 og x, equals, 3.
Hvilket fortegn har funktionsværdien af h, left parenthesis, x, right parenthesis i intervallet minus, 5, is less than, x, is less than, 2?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

3*) Hvilken af følgende grafer kunne være grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?
Vælg 1 svar:

Bestemme positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning

I stedet for en fortegnsundersøgelse kan man også finde de positive og negative intervaller ved grafisk aflæsning. Grafen kan laves ved at bruge viden om funktionens opførsel i plus og minus uendelig samt nulpunkternes multiplicitet.
Du kan læse mere i vores artikel Grafer for polynomier.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.