Vandret skalering af funktioner: eksempler

Vi får at vide, at dette er grafen for funktionen f, Godt nok. Funktionen g er defineret som g(x) er lig f(2x). Hvad er grafen for g? Sæt videoen på pause og prøv selv at finde ud det. Okay, lad os løse den sammen. Jeg vil gribe det an ved at lave en lille tabel. Jeg har en kolonne for x, og en kolonne for g(x) = f(2x). Når x er 0, så er g(0) lig f (2 · 0), som stadig er f(0), som er lidt mere end 4. De har altså begge den samme skæring med y-aksen. Der sker spændende ting, når vi kommer væk fra y-aksen. Når vores x går i begge retninger. Altså når x bliver større i begge retninger væk fra 0. Men lad os se, hvad der sker, når x er lig 2. Ved x er lig 2, så er g(2) lig f (2 · 2), som er f(4). Vi ved, hvad f(4) er. f(4) er lig 0. Så g(2) er lig f(4), som er 0. Bemærk, hvordan det tilsvarende punkt bliver sammenpresset eller mast i den vandrette retning. Du kan nu på denne side af grafen se, at alting sker en smule hurtigere. Hvad der før skete ved et vist x, sker nu ved det halve af dette x. Denne side af grafen kommer til at se -- jeg prøver lige at tegne den lidt bedre -- se nogenlunde således ud. Alting sker dobbelt så hurtigt. Hvad sker der, når du går i den negative retning? Hvad er g(-2)? g(-2) er lig f(2 · (-2)) som er f(-4), som vi kan se er 0. g(-2) er altså 0. Nu undrer du dig måske over, hvorfor jeg valgte 2 og -2? Når ting bliver sammenpresset, så sker tingene hurtigere. Tingene sker her dobbelt så hurtigt. Hvad der før skete ved x er lig 4, det sker nu ved x er lig 2. Hvad der før skete ved x er lig -4, det sker nu ved x er lig -2. Jeg så desuden, at vi havde gode punkter for f her ved ved x er lig -4 og 4, og så tog jeg blot det halve af dem for at finde mine x-værdier her. Så vores graf kommer til at se således ud. Den er presset ind fra højre og venstre. Lad os lave endnu et eksempel. Nu har vi ikke kun fået grafen for f, men vi har fået forskriften for den. Hvad er grafen for g(x), som er lig med det her? Sæt videoen på pause og prøv at finde ud af det. Okay, vi skal først finde sammenhængen mellem f(x) og g(x). Vi kan se, at i stedet for x i f(x), så har vi x/2. Alle steder, hvor der var et x, der er det erstattet med x/2. Man kan skrive, at g(x) er lig med f(x/2). Eller man kan sige g(x) er lig f(½ x). Vi kan gøre noget tilsvarende som før. De har givet os nogle spændende punkter. Punkterne er ved x er lig 2, x er lig 4 og x er lig 6. Lad os tænke over det. Før da g(x) var lig 2x, så skete tingene dobbelt så hurtigt, Nu sker tingene halvt så hurtigt. Jeg kan lave en lille tabel. De gode x-værdier er dem, hvor jeg, når jeg tager det halve af dem, får jeg et af disse punkter. Lad mig skrive det således ½x og g(x) = f(½x). Jeg vil have, at ½x skal være 2, 4 og 6. Hvorfor valgte jeg dem? Det er fordi, det er tydeligt, hvilke værdier f har ved disse punkter. Hvis 1/2x er 2, så er x lig 4. Hvis 1/2x er 4, så er x lig 8. Hvis x er lig 12, så er 1/2x lig 6. Vi kan sige, at g(4) er lig f(2), som er lig 0. Det derfor jeg valgte 2, 4 og 6. Det er nemt, at aflæse f(2), f(4) og f(6). De gav os tydeligvis disse punkter. g(8) er lig f(½ · 8), altså f(4), som er lig -4. g(12) er lig f(6), som er lig halvdelen af 12, som er 0. Vi kan afsætte disse punkter og dermed få en god ide om grafens udseende. Lad os se. g(4) er lig 0. g(8) er lig -4, lige her. g(12) er lig 0, igen. Så alting er strukket ud. Sådan, den er udstrakt i den vandrette retning. Du kan se, at dette punkt på f svarer til dette punkt på g. Det er dobbelt så langt fra origo, da alting sker halvt så hurtigt. Du vælger et x og du tager det halve, og så indsætter du det i f. Så dette punkt her svarer til dette punkt. I stedet for at toppunktet er ved 4, så er det nu ved 8. Sidst men ikke mindst, dette punkt her svarer til dette punkt. I stedet for at være ved 6, så er det ved 12. Alting bliver strukket ud. Lad os lave et eksempel mere. f(x) er lig alt dette. Vi skal være forsigtige, da der er en kubikrod. g er en vandret skalering af f. Funktionerne er afbildet, så f er fuldtoptrukken og g er stiplet. Hvad er forskriften for g? Sæt videoen på pause og se, om du kan finde ud af det. Okay, lad os løse den sammen. Det ser ud til, at de har givet os nogle punkter, der svarer til hinanden. Når man går fra f til g, så bliver de tilsvarendepunkter trykket tættere på origo. Vi kan se, at f(-3) er lig g(-1). f(6) er lig g(2). Man kan også sige, uanset hvilket x du putter ind i g, så ser det ud til at at svare til 3 gange det samme x i f. g(x) er lig f(3x). Da vi skal skrive forskriften til g, så skal vi omskrive f(3x). f(3x) er lig -3 gange kubikroden af -- i stedet for x så indsætter jeg 3x -- (3x + 2) plus 1. Det er, hvad g(x) er. Den er lig f(3x), som er det her. Vi erstattede dette x med 3x. Og vi er færdige.