Tekstopgave med trigonometri: dagens længde (faseskift)

Årets længste dag i Juneau, Alaska er d. 21. juni. Den er 1096,5 minutter lang. Et halvt år senere, når dagene er kortest, er dagen 382,5 minutter lang. Hvis det ikke er skudår er året 365 dage langt og d. 21. juni er den 172. dag i året. Opstil en trigonometrisk funktion, der modellerer dagens længde L på årets t-ende dag. Det bliver L(t), når vi antager, det ikke er et skudår. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve inden jeg gennemgår den. Nu er det min tur. I stedet for at starte med L(t), så starter jeg med funktionen L(u), hvor u er en anden variabel, som jeg bruger midlertidig, som hjælp til at gøre det mere enkelt. u er antallet af dage efter 21. juni. Lad os tænke lidt over, hvad det betyder. 21. juni. Hvis vi udtrykker det med u, så er u lig 0, da det er 0 dage efter 21. juni. Men hvis vi udtrykker det med t, så er 21. juni den 172. dag på året. Hvad er sammenhængen mellem u og t? Det er en forskydning på 172 dage. u er lig t - 172 Når t er lig 172, så er u lig 0. Lad os finde L(u) først, og bagefter kan vi erstatte u med t - 172. Hvad sker der, når u er lig 0? Lad mig skrive alt dette. Hvad sker der, når u er lig 0? u = 0 svarer til 21. juni, som er et maksimumpunkt. Hvilken trigonometrisk funktion har et maksimum, når inputtet er 0? sin(0) = 0, hvorimod cos(0) = 1. Cosinus har et maksimumpunkt. Det er derfor en smule nemmere at modellere dette med en cosinusfunktion. Det bliver en amplitude gange cosinus og jeg skriver en koefficient C her. Nej lad mig bruge B, da jeg allerede har brugt A. En koefficient gange u plus en konstant, der forskyder hele funktionen op eller ned. Forskriften bliver på denne form. Nu skal vi blot finde ud af, hvad hver af disse er. Lad os først se på amplituden og hvor neutrallinjen ligger. Neturallinjen svarer til, hvor meget vi forskyder funktionen opad. Lad os hente lommeregneren. Neutrallinjen ligger halvvejs mellem disse to tal. Vi siger 1096,5 + 382,5 divideret med 2 er 739,5. Det svarer til C. C er lig 739,5. Amplituden er, hvor meget vi afviger fra denne neutrallinje. Vi kan sige 1096,5 minus dette eller vi kan sige dette minus 382,5. Lad os gøre det. Lad os sige 1096,5 - 739,5 og vi får 357. Det er, hvor meget vi afviger fra neutrallinjen. A er lig 357. Dette er lig 357. Hvad er B lig? Her siger jeg altid, hvilken opførsel ved funktion er dette? Hvad er funktionens periode? Lad mig lave en lille tabel her. Lad os indsætte nogle forskellige input for u. Når u er 0, så er vi 0 dage efter 21. juni. Vi er ved et maksimumpunkt. Vi ved allerede, at cosinusfunktionen her har værdien 357∙cos(0) +739,5. Hvad er en hel periode? Det er et år. Efter 1 år, vil vi være samme sted i året, som jo giver mening. Du går hele vejen til 365. Når u er 365, så har vi gennemført en periode og er ved et maksimumpunkt. Dette har værdien 357∙cos(2π) -- den almindelige cosinusfunktion med theta har perioden 2π -- +379,5. Man kan sige, at B gange 365 er lig 2π. Dette er B gange 365. Det skriver jeg lige. B gange 365. Det er det input i cosinusfunktionen, der skal være lig 2π. Eller B er lig 2π/365. Vi er næsten færdige. Vi har fundet A, B og C. Nu skal vi blot erstatte u med t - 172 for at få funktionen udtrykt med t. Lad os gøre det. -- vi fortjener lige en trommesolo -- L(t) er lig A, som er 357 gange cosinus til B, som er 2π/365 gange ikke u, da vi skal udtrykke det med t, Vi skal bruge dagen i hele året, ikke dage efter 21 juni. derfor gange t -172. Til sidst neutrallinjen + 739,5. Og vi er færdige. Det ligner måske et kompliceret udtryk, men når du opdeler det og finder et ekstremum, enten et minimum eller maksimum. Og siger det er inputtet, når funktionen er 0 eller 2π, 0 er det nemmeste. Du kan senere bekymre dig om forskydningen. Håber du syntes det var nyttigt.