Tekstopgave med trigonometri: modellering af daglig temperatur

I Johannesburg i juni er den laveste daglige temperatur som regel omkring 3 grader Celsius og den højeste daglige temperatur er omkring 18 grader Celsius. Temperaturen er typisk halvvejs mellem den højeste og laveste daglige temperatur både kl 10 om morgenen og aftenen. Den højeste temperatur er om eftermiddagen. Skriv en trigonometrisk funktion, der modeller temperaturen T i Johannesburg t timer efter midnat. Lad os prøve at finde ud af, hvordan grafen for alt dette ser ud. Dette er temperatur aksen i grader Celsius. -- jeg laver to forskellige funktioner -- Dette er min temperatur akse og dette er tiden i timer, t. Hvilke værdier for temperaturen kender vi? Den lave temperatur er omkring 3 grader Celsius og den høje er 18, så lad os markere det. Her er 18 og dette er 3. Vi ved, at midtpunktet mellem 18 og 3, som er både kl 10 om morgenen og om aften, er 18 + 3, som er 21 divideret med 2, så 10,5. Midtpunktet eller neutrallinjen af vores trigonometriske funktion ligger ved 10,5℃. Lad mig tegne neutrallinjen, som vi oscillerer hen over. Den højeste temperatur er omkring 18 grader Celcius. Den laveste temperatur er omkring 3 grader Celcius. Vi oscillerer omkring denne neutrallinje og rammer disse minima og maksima. I første omgang forenkler vi tingene, da vi skal ramme 10,5 både klokken 10 om morgenen og om aftenen. Jeg vil derfor se bort fra at det skal være i timer efter midnat. I stedet definerer jeg en ny funktion F(t), som er lig med temperaturen i Johannesburg t timer efter klokken 10 om morgenen. Jeg vælger kl. 10 om morgenen, fordi vi ved, at temperaturen er lige her på neutrallinjen. Når jeg afbilder F(t), når t er lig 0, som er kl. 10 om morgenen, så er vi her midt i mellem den laveste og højeste daglige temperatur. Hvad er perioden af denne trigonometriske funktion? Efter 24 timer er vi tilbage ved kl. 10 om morgenen, så perioden er 24 timer. Lad mig markere 24 timer og halvvejs er 12 timer. Hvad sker der efter 12 timer? Efter 12 timer er vi ved kl. 10 om aftenen, hvor vi er halvvejs mellem den laveste og den højste temperatur. Efter 24 timer er vi igen ved kl 10 om morgenen. Disse er punkter for F(t). Hvad sker der, når vi starter ved kl. 10 om morgenen og går fremad. Den varmeste temperatur er om eftermiddagen. Eftermiddag ligger her omkring. Vi skal derfor gå op i temperatur og det højeste punkt ligger halvvejs mellem disse to. 6 timer efter kl 10 er kl 16, så her ligger et maksimum. -- lad mig lige tegne kurven -- Nu er ved ved kl. 10 om aftenen, og 6 timer efter 10 er 4 om morgenen. Det er 18 timer efter kl. 10 om morgenen. Dette er et minimum. Grafen vil se nogenlunde således ud. Inden vi forsøger at modellere T lad os skrive en forskrift for denne her. Den fortsætter naturligvis, både før og efter kl. 10 om morgenen. Den fortsætter med denne cyklus igen og igen. Hvad er en forskrift for F(t)? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause tænke over det. Er dette en sinus eller cosinusfunktion? Vi kan bruge dem begge. Den nemmeste at bruge vil være på neutrallinjen, når funktionens argument er 0. Sinus til 0 er 0. Hvis denne funktion ikke var flyttet op eller ned, så er neutrallinjen til sinusfunktionen ved 0. sin(0) = 0 og sinus begynder at vokse og oscillere på denne måde. Sinus er en god kandidat for vores model. Endnu en gang du kan bruge begge, men jeg tror dette bliver nemmere. Lad os se på amplituden. Hvor meget ændres maksimum fra neutrallinjen? Her er vi 7,5 over neutrallinjen og her er vi 7,5 under neutrallinjen. Amplituden er 7,5. Lad mig lige vælge en anden farve, så du kan se, hvor tingene kommer fra. Dette er 7,5 og dette er 7,5. Vi skriver 7,5 for amplituden. Hvad er perioden? Vi har allerede snakket om, at perioden er 24 timer. Denne afstand er 24 timer. Det giver mening, da vi efter 24 timer har det samme tidspunkt på dagen. Vi skal dividere 2π med perioden, så divideret med 24 og så gange t. Hvis du har glemt, at man dividerer 2π med perioden, så skal du huske, at når t er 0, så er hele argumentet lig 0. Det er herover. Når t er 24, så skal argumentet være 2π, da vi er gået en omgang på enhedscirklen. Vi er næsten færdige. Hvis jeg afbilder dette, så er der en neutrallinje ved 0, men vi kan se, at den skal forskydes opad med 10,5. Vi skal altså forskyde det hele med 10,5. Vi kunne reducere en smule og skrive dette som π/12 i stedet for 2π/24. Dette modellerer temperaturen i Johannesburg t timer efter kl. 10. Det er dog ikke det vi skal. Vi skal modellere temperaturen t timer efter midnat. Hvordan skrives T(t)? Vi skal forskyde denne her lidt. Lad os nu modellere T(t), som er t timer efter midnat. Vi har den samme amplitude. Den samme ændring fra neutrallinjen, så 7,5 sin(π/12 .. og i stedet for t, så skal t forskydes enten til højre eller venstre. Det kan gøres i begge retninger, da det er en periodisk funktion. Vi skal finde ud af, hvor meget den skal forskydes. Det bliver t +/- et eller andet. Og en forskydning op på +10,5. Dette kan drille lidt. Da man skal være sikker på at flytte i den rigtige retning. Vi er ved dette punkt kl. 10 om morgenen. Dette er 0 timer efter kl. 10 om morgenen. Men i denne funktion, hvad er kl. 10 om morgenen? I denne funktion svarer kl 10 om morgenen til 10 timer efter midnat. T(10) er 10 timer efter midnat, som er lig F(0), da dette repræsenterer temperaturen kl. 10 om morgenen og T(10) repræsenterer også temperaturen kl. 10 om morgenen. T(10) skal være det samme som F(0). Man kan også sige, for F(0) gælder, at argumentet er lig 0, så for T(10) skal argumentet også være lig 0. Hvordan gør vi det? Dette er t - 10, for hvis du indsætter 10 her, så får du 0 og har kun 10,5 tilbage. Det samme gælder for F(0), da hele dette bliver 0 og du har kun 10,5 tilbage. T(10) er altså lig med F(0). Vi har nu besvaret spørgsmålet. Hvis vi indsætter 10 her, så bliver argumentet for sinus lig 0 og disse to bliver tilsvarende. Men lad os tegne den. Lad os tegne T(10). Dette er 6 og 12, så 10 er her omkring. T(10) er det samme som F(0) så det bliver sådan her. Vi har blot forskudt det hele 10 mod højre, hvilket giver mening, da antallet af timer efter kl. 10 om morgenen er 10 timer længere efter midnat. Dette forskydes med 10 og dette forskydes med 10. Grafen kommer til at se nogenlunde således ud. Vi skal forskyde det hele 10 mod højre. Vi erstatter t i argumentet med t - 10 og dette er hvorfor.