If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Emne: (AP® ︎ Differentialregning BC > Emne 1

Modul 2: Grænseværdier fra grafer
Matematik
AP® ︎ Differentialregning BC
Grænseværdier og kontinuitet
Grænseværdier fra grafer
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Grænseværdier fra grafer

Google Classroom
Den bedste måde at begynde at arbejde med begrebet grænseværdi er ved at benytte grafer. Lær, hvordan grænseværdier kan analyseres grafisk og se nogle tilfælde, hvor der ikke findes en grænseværdi.
Der er en vigtig forskel mellem den værdi, en funktion nærmer sig - det vi kalder grænseværdien - og værdien af selve funktionen. Grafer er et fantastisk værktøj til at forstå denne forskel.
En funktion er tegnet og animeret. x aksen går fra 0 til 3. Grafen er en kurve, der starter i 0 komma en halv, aftager gennem en åben cirkel i omkring 2 komma en kvart. En markør bevæger et punkt på kurven mod den åbne cirkel først fra venstre og siden fra højre. Værdierne ligger tæt på en kvart. I den åbne cirkel vises koordinatet som 2 komma udefineret.
desmos.com for at undersøge limx→2x−2x2−4
Bemærk, hvordan vi, når vi nærmer os x = 2 fra både venstre og højre, nærmer os y = 0,25.
I eksemplet ovenfor, ser vi, at funktionsværdien, når x=2, er udefineret, men grænseværdien er ca. 0,25.
Vi skal bare huske, at vi har at gøre med en tilnærmelse, ikke en nøjagtig værdi. Vi kunne zoome yderligere for at få en bedre tilnærmelse, hvis vi ville.

Eksempler

Eksemplerne nedenfor fremhæver interessante tilfælde af at bruge grafer til at tilnærme grænseværdier. I nogle af eksemplerne er grænseværdien og funktionsværdien ens, og i andre eksempler er de det ikke.

Nogle gange er grænseværdien lig med funktionsværdien.

Opgave 1
Hvad er en rimelig vurdering for limx→1g(x) ?
Et koordinatsystem vises. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 7 til 7. Funktion g er tegnet. Kurven starter ved cirka minus 7 komma minus 8 og går opad gennem et punkt der ligger lidt under 1 komma minus 1 og forsætter opad og ender i første kvadrant.
Vælg 1 svar:

Men nogle gange er grænseværdien ikke lig med funktionsværdien.

Hver gang du har at gøre med en stykvis funktion, er det muligt at få en graf som den nedenfor.
Opgave 2
Hvad er en rimelig vurdering for limx→1g(x) ?
Et koordinatsystem vises. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 7 til 7. Funktion g er tegnet. Kurven starter i anden kvadrant går nedad, vender og går op gennem en åben cirkel lidt over 1 komma 4 og går fortsætter opad og ender i første kvadrant. Der er en lukket cirkel lidt under 1 komma 2.
Vælg 1 svar:

Stor afsløring: Det er muligt for funktionsværdien at være forskellig fra grænseværdien.

Og bare fordi en funktion er udefineret for nogle x-værdier betyder det ikke, at der ikke er nogen grænseværdi.

Huller i grafer opstår med brøk funktioner, som bliver udefinerede, når deres nævnere giver nul. Her er et klassisk eksempel:
Et koordinatsystem vises. Begge akser har markeringer for hver en halv. På x aksen er hver anden markering fra minus 2 til 2 mærket. På y aksen er hver anden markering fra minus 1 til 3 mærket. En funktion er afbildet. Kurven starter ved cirka minus 2 en halv komma 4 og går nedad gennem en åben cirke i 0 komma 1, vender og forsætter opad og ender i første kvadrant.
Dette er grafen for y = x / sin(x). Bemærk at der er et hul ved x = 0 fordi funktionen er udefineret der.
I dette eksempel ser grænseværdien ud til at være 1, da y-værdierne ser ud til at nærme sig 1, når x-værdierne kommer tættere og tættere på 0. Det er ligegyldigt, at funktionen er udefineret i x=0. Grænseværdien eksisterer stadig.
Her er endnu en opgave du kan prøve:
Opgave 3
Hvad er en rimelig vurdering for limx→−4f(x) ?
Et koordinatsystem vises. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 7 til 7. Funktion f er tegnet. Kurven starter i anden kvadrant og går nedad gennem en åben cirkel der ligger lidt over minus 4 komma 3. Den fortsætter nedad, vender og går opad og ender i fjerde kvadrant.
Vælg 1 svar:

Endnu engang husk: Funktionsværdien ved x=−4 er irrelevant for at finde grænseværdien. Det eneste, der betyder noget, er at finde ud af, hvad y-værdierne nærmer sig, når vi kommer tættere på x=−4.

Selvom funktionen er defineret for en x-værdi, betyder det ikke, at grænseværdien nødvendigvis eksisterer.

Ligesom et tidligere eksempel viser denne graf, hvad der kan ske, når vi arbejder med stykvise funktioner. Læg mærke til, hvordan vi ikke nærmer os den samme y-værdi fra begge sider af x=3.
Opgave 4
Hvad er en rimelig vurdering for limx→3g(x)?
Vælg 1 svar:

Vil du have flere opgaver? Prøv denne øvelse.

Grafværktøjer er ret gode nu om stunder.

En grafregner som Desmos kan give dig en fornemmelse af, hvad der sker med y-værdierne, når du kommer tættere og tættere på en bestemt x-værdi. Prøv at bruge et grafværktøj til at bestemme disse grænser:
limx→0xsin⁡(x)limx→3x−3x2−9
I begge tilfælde er funktionen ikke defineret i den x-værdi, vi nærmer os, men grænseværdien eksisterer stadig, og vi kan estimere den.

Opsamlende spørgsmål

Opgave 5
Er det altid rigtigt, at limx→af(x)=f(a)?
Vælg 1 svar:

Opgave 6
Hvilket udsagn beskriver bedst, hvordan grafer hjælper os med at vurdere grænseværdier?
Vælg alle svar der passer:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.