Grænseværdier fra grafer

Vi har grafen for y er lig f(x) lige her og vi skal bestemme tre forskellige grænseværdier. Som altid sæt videoen på pause og se om du kan gøre det selv inden vi laver den sammen. Okay, lad os først se på grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 6. Jeg vælger lige en farve du kan se. Når x nærmer sig 6 - fra begge sider. Når vi nærmer os 6 fra venstre side med værdier mindre end 6, nærmer f(x) sig 1 og når vi nærmer os x er lig 6 fra højre side så nærmer f(x) sig også 1. For at en grænseværdi kan eksistere, så skal vi nærme os den samme værdi både fra venstre og fra højre. Man kan aldrig være helt sikker, når man bruger en graf, men det er vidst en rimelig vurdering at sige vi nærmer os 1. Lad os se på den næste. Grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4? Når vi nærmer os 4 fra venstre side, hvad sker der så? Når vi nærmer os 4 fra venstre side, så ser det ud til at værdien af funktionen nærmer sig 3. Husk du kan have en grænseværdi ved en x-værdi, hvor funktionen selv ikke er defineret. Hvis du spurgte, hvad er f(4), så er funktionen ikke defineret. Men når vi nærmer os x er 4 fra venstre, så nærmer f sig 3. Og når vi nærmer os 4 fra højre, så ser det igen ud til at funktionen nærmer sig 3. Ud fra grafen er en rimelig vurdering af grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 4, lig 3, selvom funktionen ikke selv er defineret der. Lad os se på grænseværdien, når x nærmer sig 2. Det er interessant, da funktionen er defineret der. f(2) er 2, men lad os se, hvad den nærmer sig. Fra den venstre side ser det ud til at funktionen nærmer sig værdien 2, men når vi nærmer os x er lig 2 fra højre side, så kommer funktionen tættere og tættere på 5. Den bliver ikke helt 5, men når vi er på 2,1 2,01 eller 2,001, så ser det ud til at vores funktion kommer tættere og tættere på 5. Da vi nærmer os to forskellige værdier, fra venstre og højre side, når x nærmer sig 2 fra venstre side og højre side, så siger vi, at grænseværdien ikke eksisterer. Hvilket jo er spændende. I det første tilfælde er funktionen defineret ved 6 og grænseværdien er lig funktionsværdien ved x er lig 6. Her er funktionen ikke defineret ved x er lig 4, men grænseværdien eksisterer. Og her, hvor funktionen er defineret ved x er lig 2, så er eksisterer grænseværdien ikke, når vi nærmer os x er lig 2. Lad os se på en anden funktion og finde grænseværdier grafisk. Her har vi grafen for y er lig g(x). Igen sæt videoen på pause og se om du kan finde disse grænseværdier grafisk. Først har vi grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 5. Når vi nærmer os 5 fra venstre side, så ser det ud til at vi nærmer os denne værdi. Lad mig tegne en ret linje. Det ser ud til vi nærmer os denne værdi. Når vi nærmer os 5 fra højre side, så ser det også ud til at vi nærmer os samme værdi. Jeg skønner, at den værdi er omkring 0,4. Men grænseværdien eksisterer i hvert fald. Selvom det ikke er særlig præcist at bruge grafen, så vil jeg sige den er omkring 0,4. Den kan være 0,41 eller 0,41456789. Vi ved det ikke, når vi blot kigger på grafen, men det er en værdi der omkring. Lad os se på grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 7. Vi gør det samme. Hvad sker der, når vi nærmer os fra venstre? Med værdier mindre end 7. 6,9 6,99 6,999 Det ser ud til værdien af vores funktion nærmer sig 2. Det gør ikke noget at selve funktionen, g(7) er lig 5. Når vi nærmer os fra venstre, når x er 6,9 eller 6,99 så nærmer funktionen sig 2. Og når vi nærmer os x er lig 7 fra højre, så ser det samme ud til at ske. Vi nærmer os 2. Så jeg vil sige, at dette er lig 2. Funktionen er defineret der, og grænseværdien eksisterer, men g(7) er forskellig fra grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 7. Lad os lave en mere. Hvad er grænseværdien, når x nærmer sig 1? Vi gør det samme. Fra venstre ser det ud til at den er ubegrænset. Når x er 0,9 0,99 0,999 og 0,9999 så ser det ud til at vi blot ubegrænset kan fortsætte til uendelig. Og når vi nærmer os fra højre side, så sker det samme. Vi kan fortsætte ubegrænset til uendelig. Nogle gange siger man mindre formelt at den går mod uendelig eller noget i den retning. Men hvis vi skal være formelle, så siger man fordi den er ubegrænset, så eksisterer den ikke.