Afstandsformlen

I den her video skal vi se, hvordan man kan finde afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem. Vi vil se, at det faktisk blot er en anvendelse af Pythagoras' læresætning. Lad os starte med et eksempel. Lad os sige, at vi har et punkt. Jeg bruger en mørk farve, så det er til at se. Lad os sige, at vi har punktet (3, -4). Lad os afbilde det 1, 2, 3 og så går vi 4 ned, 1 2 3 4. Det her er (3, -4). Lad os sige, jeg også har punktet (6, 0). 1, 2, 3, 4, 5, 6 og vi skal ikke bevæge os i y-retningen. Punktet er på x-aksen, da y-koordinaten er 0. Punktet er (6, 0). Jeg vil finde afstanden mellem de 2 punkter. Hvor langt er det blå punkt fra det orange punkt? Først mener du nok, at du aldrig har lært, hvordan man finder en sådan afstand. Og hvorfor nævner du Pythagoras' læresætning her? Der er jo ingen trekant. Hvis du ikke ser en trekant, lad mig tegne den for dig. Vi tegner en trekant her. Sådan. Lad os bruge en masse farver, så det er helt tydeligt. Her er vores trekant. Man kan se med det samme, at det er en retvinklet trekant. Det her er en ret vinkel. Grundlinjen går vandret fra venstre mod højre, og den højre side går lodret op og ned. Vi har altså en retvinklet trekant. Hvis blot vi kan finde ud af, hvor lang grundlinjen og højden er, kan vi bruge Pythagoras' læresætning til at finde den lange side. Den side, der er modsat den rette vinkel, altså hypotenusen. Den her. Afstanden er hypotenusen i den retvinklet trekant. Lad os tegne det lidt større. Det her er hypotenusen. Vi har siden til højre, som går lodret op og ned, og vi har vores grundlinje her. Lad os kalde afstanden for d distance. Det er længden af hypotenusen. Hvordan finder vi længden af højden og grundlinjen? Lad os først se på grundlinjen. Hvad er dens længde? Vi kan tælle os frem. Lad os lige skifte til grøn. Her er x lig med 3, og her er x lig med 6. Vi bevæger os mod højre. Det her er det samme, som den afstand her. Vi kan bestemme afstanden ved at vælge et af punkterne. Hvilket er ligegyldigt, da vi tager kvadratet om lidt, så det gør ikke noget hvis vi får negative tal. Længden er altså 6 - 3. Det er denne længde. Som er lig 3. Vi har fundet grundlinjen. Den svarer til ændringen i x. Den er lig med x ved slutpositionen minus x ved udgangspositionen. 6 - 3. Det er ∆x. Vi kan bruge præcis samme logik, idet højden svarer til ændringen i y. Det er ∆y. Her er y lig med 0. Det er der, vi ender. Det er vores højeste y-værdi. Her er vi ved y er lig med -4. Vores ændring i y er lig med 0 - (-4). Vi tager den største y-værdi minus den mindste y-værdi, den største x-værdi minus den mindste x-værdi. Vi skal tage kvadratet, så hvis vi havde gjort det omvendt og får et negativt tal, vil vi få det samme svar til sidst. Dette er lig 4. Den her side er 4. Det kunne vi også have talt. Den her side er lig med 3. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning. Kvadratet på denne afstand, d² = (∆x)² + (∆y)². Det er der ikke noget magi ved. Nogen kalder dette for afstandsformlen, men det er blot Pythagoras' læresætning. Kvadratet på den side plus kvadratet på denne side er lig med kvadratet på hypotenusen, fordi det her er en retvinklet trekant. Lad os bruge de tal, vi har fundet frem til. Kvadratet på afstanden, d² = (∆x)², som er lig 3² + (∆y)², som er 4². Det er lig med 9 + 16, som er lig med 25. Kvadratet på afstanden, d² = 25. Nu skal vi tage kvadratroden, vi skal kun bruge det positive svar, fordi en afstand ikke kan være negativ. d er altså lig med kvadratroden af 25, som er lig med 5. Længden her er altså 5. Det svarer til den afstand vi skal finde. Hvor langt er dette punkt fra det her punkt? Det er 5 enheder væk. Afstandsformlen er altså blot Pythagoras' læresætning. Lad os se forskellige måder at skrive den på. Man kan sige, hvis vi har to punkter og det første punkt hedder (x1, y1) og det andet punkt hedder (x2, y2). Så kan man skrive afstanden som -- det kan godt se ret kompliceret ud, men den er blot Pythagoras' læresætning -- vi skriver at d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Sådan ser afstandsformlen ud i mange matematikbøger. Det er spild af tid at huske alt det, da det blot er Pythagoras' læresætning. Dette er ∆x. Det betyder ikke noget, hvilket x vi vælger først. Hvis vi får en negativ værdi, bliver den nemlig positiv, når vi kvadrerer den. Dette er ∆y. Hvis vi kvadrerer begge sider af den her ligning, så forsvinder kvadratrodstegnet. Vi får d² = (∆x)² -- ∆ betyder ændring i -- d² = (∆x)² + (∆y)². Delta betyder ændringen i. Det er godt at huske. Lad os bruge den her formel på nogle tilfældige punkter. Lad os sige, at vi har punktet 1, 2, 3, 4, 5, 6, så (-6, -4). Vi vil finde afstanden mellem det og 1 komma 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Afstanden mellem det og punktet (1, 7). Vi skal bruge samme fremgangsmåde. Vi bruger Pythagoras' læresætning. Vi skal først finde denne afstand, som er ændringen i x, og så denne afstand, som er ændringen i y. Kvadratet på den afstand plus kvadratet af denne afstand er lig kvadratet på den her afstand. Lad os gøre det. Først finder vi ændringen i x. Det er ligegyldigt, hvilken x-værdi vi starter med. Mange tager den største x-værdi minus den mindste x-værdi. d² er lig kvadratet på ændringen i x, som er (1 - (-6))² plus kvadratet på ændringen i y, som er (7 - (-4))² Da jeg valgte disse punkter tilfældigt, er det ikke sikkert, vi får et pænt svar. Lad os udregne afstanden. Kvadratet af 1 - (-6), som er 7². Vi kan også tælle os frem til det. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Det her vores tal her. Det er vores ændring i x. Så har vi + 7 - (-4). Det giver 11. Det er afstanden her, og den kan du tælle. Vi går altså 11 op. Vi tager 7 og trækker minus 4 fra det, og det giver en afstand på 11. VI har altså + 11², og det er lig d². Lad os få lommeregneren frem. Vi har 7² + 11², det er lig 170. Afstanden er altså lig √170, da d² = 170. Lad os tage kvadratroden af 170, og vi får cirka 13,04. Den her afstand, som vi ville finde, er altså 13,04. Forhåbentlig syntes du, at videoen har været nyttig.