Grænseværdier for funktionskombinationer

Lad os finde grænseværdien for f(x)⋅h(x), når x nærmer sig 0. Okay vi har her graferne for y er lig f(x) og y er lig h(x). Vi ved fra vores regneregler for grænseværdier at dette er det samme som grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 0 gange grænseværdien for h(x), når x nærmer sig 0. Lad os se, hvad hver af disse er. Lad os først se på f(x) herover. For f(x), når x nærmer sig 0, så er funktionen selv ikke defineret. Men vi kan se, når vi nærmer os fra venstre, så nærmer funktionen sig værdien -1. Når vi nærmer os fra højre, så synes funktion at nærme sig -1. Grænseværdien er derfor -1. Når vi nærmer os fra venstre, nærmer vi os 1. Når vi nærmer os fra højre, så nærmer funktionsværdierne sig -1. Hvad med h(x)? Vi har h(x) her nede. Når x nærmer sig 0, så er funktionen defineret i x er lig 0. Den ser ud til at være 1. Så grænseværdien er også 1. Det kan vi se, når vi nærmer os fra venstre, så nærmer vi os 1. Når vi nærmer os fra højre, så nærmer vi os 1. Når vi nærmer os x er lig 0 fra venstre, så nærmer funktionen sig 1. Når vi nærmer os x er lig 0 fra højre, så nærmer funktionen sig 1. Og det giver meningen, når funktionen er defineret i x er lig 0, at grænseværdien, når x nærmer sig 0, er det samme som funktionsværdien i det punkt, da det er en kontinuert funktion. Så dette er 1. -1 gange 1 er lig med -1. Dette er -1. Lad os lave en mere. Okay, begge disse er kontinuerte funktioner. Vi har grænseværdien for h(x)/g(x), når x nærmer sig 0. Vi kan igen bruge vores regneregler for grænseværdier. Dette er det samme som grænseværdien for h(x), når x nærmer sig 0 over grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 0. Hvad er grænseværdien for h(x), når x nærmer sig 0? Lad os se, når vi nærmer os x er lig 0 fra venstre så nærmer funktionen sig 4. Og når vi nærmer os x er lig 0 fra højre, så synes funktionen at nærme sig 4. Det er også funktionsværdien, når x er lig 0. Det giver mening, da det er en kontinuert funktion, så grænseværdien for funktionen, når x nærmer sig 0 er det samme som funktionsværdien, når x er lig 0. Vi får altså 4 heroppe. Lad os se på grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 0. Når x nærmer sig 0 fra venstre, synes funktionsværdien at nærme sig 0 og når x nærmer sig 0 fra højre, så nærmer funktionsværdien sig også 0, som også er værdien af g(0). g(0) er også 0. Det giver mening, at grænseværdien og funktionsværdien i det punkt er det samme, da den er kontinuert. Dette er også 0. Men nu står vi i en underlig situation, da vi skal dividere 4 med 0. Denne grænseværdi eksisterer ikke, da vi ikke kan dividere 4 med 0. Selvom grænseværdien for h(x), når x nærmer sig 0, eksisterer og grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 0, eksisterer, så kan vi ikke dividere 4 med 0, så hele denne grænseværdi eksisterer ikke. Hvis du afbilder grafen for h(x)/g(x), så ville det blive mere tydeligt, at den grænseværdi ikke eksisterer. Du kan se det rent grafisk.