Sætning om grænseværdier for sammensatte funktioner

I denne video skal vi lære om grænseværdier for sammensatte funktioner, idet vi skal se på en regneregel for grænseværdier for sammensatte funktioner, da vi skal se på grænseværdien for f(g(x)) når x mærker sig a. Og vi skal se, at under visse omstændigheder er det lig f af grænseværdien for g(x), når x nærmer sig a. Hvilke betingelser er det, spørger du så? Det gælder, hvis og kun hvis to ting er sande. Først og fremmest skal denne grænseværdi eksistere. Grænseværdien for g(x), når x nærmer sig a, skal eksistere og derudover skal funktionen f være kontinuert i det punkt, L. Lad os se på nogle eksempler, hvor vi bruger denne regel eller, hvor vi ser, om vi kan bruge den. Jeg har her graferne for to funktioner. Lad mig sikre mig, der er nok plads. Vi kan se, at den til venstre er vores funktion f og den til højre er vores funktion g. Lad os først bestemme grænseværdien for f(g(x)), når x nærmer sig -3. Sæt videoen på pause og se, om først og fremmest du kan bruge denne regel? Og hvis du kan, hvad er så grænseværdien? Det første vi skal gøre er at se, om vi kan bruge denne regel. Vi skal altså først bestemme grænseværdien for g(x), når x nærmer sig -3. Når vi nærmer os -3 fra højre, så synes funktion at være 3 og når vi nærmer os -3 fra venstre, så synes funktion at være 3. Denne grænseværdi er derfor 3, selvom værdien af g(-3) er -2, men det er et diskontinuitetspunkt. Når vi nærmer os fra begge sider, så nærmer funktionsværdien sig 3. Dette er lig 3. Grænseværdien eksisterer og vi har opfyldt den første betingelse. Den anden betingelse er, at vores funktion f er kontinuert i 3. Når x er 3, så ja i dette punkt er vores funktion helt sikkert kontinuert. Vi kan derfor sige, at denne grænseværdi er lig f af grænseværdien for g(x), når x nærmer sig -3. Vi ved, at dette er lig 3 og vi ved, at f(3) er lig -1. Vi har opfyldt betingelserne for denne regel og vi brugte reglen til at bestemme denne grænseværdi.