Brug af reciprokke trigonometriske funktioner

Vi får at vide for den spidse vinkel E, det er den vinkel lige her, er sin(E) lig 5 over kvadratrod 41, og cotan(E) er lig 8/10. Bestem værdierne for de andre fire trigonometriske forhold. Jeg kan godt lide at bruge "Mod Hos ModHos" som hjælp til at huske definitionerne på trig forholdene. Lad mig skrive det ned. "Mod Hos ModHos" [på engelsk soh cah toa] "Mod" fortæller os, at sinus til en vinkel her vinkel E er lig den modstående over hypotenusen. Hvis vi kigger på vinkel E, hvad er den modstående? Vi krydser trekanten og den modstående er lige her. Dette er den modstående. Så det bliver 5 over hypotenusen. Hypotenusen er overfor den rette vinkel, og det er den længste side i trekanten. Det er side DE og den har længden kvadratrod 41. Det passer med den oplysning vi har fået, så den var lidt overflødig. Vi kunne selv have fundet den med dette diagram. Men nu er det så gjort. Lad os se på det reciprokke af sin(E). Det er cosekans til E, csc(E), som er det reciprokke af sinus, så hypotenusen over den modstående. Vi behøver slet ikke kigge på trekanten. Vi siger blot det reciprokke, som er kvadratrod 41 over 5. Eller du kan kigge på figuren og finde ud af det. Lad os nu se på cosinus. Hvad er cosinus? Hvad er cos(E)? Lad os først finde ud af definitionen. cos(E) er hvad? "Hos" fortæller os, at det er lig den hosliggende over hypotenusen. Når vi kigger her, kan vi se, hvad hypotenusen er. Hypotenusen er den samme. Hypotenusen er kvadratrod 41. Hvad er den hosliggende side? Hvad er længden af den hosliggende side? For vinkel E er den hosliggende side FE og vi ved ikke, hvor lang den er. Dette er den hosliggende side og vi ved ikke hvad den er, så jeg skriver blot a. a da det er således de mærkede den. Vi lader den blot være som a over kvadratrod 41, når vi har fundet flere oplysninger, kan vi finde ud af, hvad a er. Når du skal bestemme sekans til E, så er det den inverse til cosinus, så det er hypotenusen over hosliggende, så det bliver kvadratrod 41 over a. Hvad a nu end er. Forhåbentlig kan vi finde det. Lad os bruge "ModHos" Det siger, at tan(E) er lig modstående over hosliggende. Hvad er den modstående side til vinkel E? Det er denne side, der har længden 5, siden DF. Den modstående er 5. Vi kender stadig ikke den hosliggende side. Den har længden a. Jeg skriver blot a her. Hvad med cotangens? Cotangens er det reciprokke af tangens, så det er hosliggende over modstående. a over 5. Hosliggende over modstående, a over 5. Hvad var det de fortalte os? Og kan du ved at bruge det finde ud af, hvad a er? De fortalte os, at cot(E) er lig 8/10. Det er nok et lille hint, at dette ikke er reduceret, 8/10. 8 og 10 har har en fælles faktor. De har fortalt os, at cot(E) er 8/10. Når vi bruger definitionen af cot(E), får vi, at cot(E) er a over 5. og de siger, at det er lig 8/10. Vi har nu en ligning, vi kan løse for a. Når vi løser for a, så kan vi finde alle de andre forhold. Lad os gøre det. Vi har a/5 er lig 8/10. Lad os reducere den lidt. Vi har en fælles faktor på 2, hvis du dividerer 8 med 2, får du 4 og dividerer 10 med 2, så får du 5. Vi får a/5 = 4/5. Vi kan gange overkors eller gange på begge sider med 5. Uanset, så får du, at a = 4. Lad os gøre det, så du kan se, hvordan det gøres systematisk. Vi har a er lig 4, hvilket er godt, da vi ved, at cot(E) er 8/10 og det er det samme som 4/5. Vi kan sige, at tan(E) i stedet for 5/a, nu er 5/4. Hvad med cos(E)? Den var a over kvadratrod 41. Nu er den 4 over kvadratrod 41. Hvad med sec(E)? Den var kvadratrod 41 over a. Nu er den kvadratrod 41 over 4. Nu da vi kender værdien af a. Vi kan tjekke, at a er lig 4 ved at bruge Pythagoras' læresætning. Faktisk kunne vi have løst den sådan. Men hele pointen her er, tænker jeg, at finde frem til, at a=4 ved at bruge cot(E) = 8/10. selvom vi kunne have løst den med Pythagoras' læresætning, men lad os tjekke om a = 4 opfylder Pythagoras' læresætning. Vi starter med denne side og vi får 4² + 5² skal være lig (√41)². Skal være lig kvadratet på hypotenusen. 4² er 16. 5² er 25. Opfylder det Pythagoras' læresætning? 16 + 25 og (√41)² er lig 41. 16 + 25 er sørme 41. Så det stemmer i det mindste over med Pythagoras' læresætning. Og vi er færdige.