Bevis for at en trekants medianer skærer hinanden i ét punkt

Formålet med denne video er at bevise, at de tre medianer i en trekant altid skærer hinanden i ét punkt. Hvilket er bemærkelsesværdigt, da du forventer at to forskellige linjer med forskellige hældninger vil skære hinanden i et punkt, men tre linjer, der skærer hinanden, er ret sejt. Og dette gælder for alle trekanter. For at lave det bevis, så har jeg her en vilkårlig trekant, men jeg har lagt et hjørne i origo. Det gør matematikken nemmere. Jeg har lagt andet hjørne på x-aksen. Jeg har givet dem koordinater. Dette er er (0, 0). Dette har x-koordinaten a, så det er (a, 0). Og det her har en x- og y-koordinat, som vi kalder b og c. Det er en vilkårlig trekant. Hvis du har anden en trekant med samme størrelse som den her, som jo kan have en vilkårlig størrelse, da vi ikke har defineret a, b og c. så kan du gå fra denne trekant til den anden ved at bruge stive transformationer. Hvis vi kan bevise at medianerne i denne vilkårlige trekant altid skærer hinanden i et punkt, så vil det gælde for alle trekanter. Lad os fortsætte. Lad os tegne medianerne. Vi skal tegne linjer fra hvert hjørne til midtpunktet af den modstående side. Når vi gør det, så ser det sørme ud til, at de skærer i et punkt. Men for at bevise det skal vi finde koordinaterne af midtpunktet på hver af disse sider. Hvad er koordinaterne her? Sæt videoen på pause og tænk over det. Dette er midtpunktet mellem det øverste punkt og punktet nederst til højre. Den længde er lig denne længde. Midtpunktet svarer til gennemsnittet af de to koordinater. Denne x-koordinat bliver gennemsnittet af b og a. Det kan du skrive som (a + b)/2. y-koordinaten er gennemsnittet af c og 0. Det bliver (c + 0)/2, som blot er c/2. Det kan vi gøre for hvert af disse punkter. Dette punkts x-koordinat er gennemsnittet af 0 og a, som blot er a/2. y-koordinaten er gennemsnittet af 0 og 0. Du kan se, det ligger på x-aksen, så dets y-koordinat er 0. Sidst men ikke mindst, hvad er koordinaterne til dette punkt? Sæt videoen på pause og prøv at finde ud af det. x-koordinaten bliver gennemsnittet af b og 0, som blot er b/2. y-koordinaten er gennemsnittet af c og 0, som er c/2. Nu kan jeg bevise, at alle tre medianer skærer hinanden i et punkt, ved at vise dig et punkt, der ligger på alle tre linjer. Hvis det ligger på alle tre linjer, så må det være skæringspunktet. Dette spændende punkt ligger 2/3 langs hver median. Afstanden mellem et hjørne og punktet er 2/3 af medianens længde. Lad os se på den blå median. Punktet ligger dobbelt så langt fra hjørnet som fra den modstående side. Punktets koordinater er derfor et vægtet gennemsnit af disse koordinater. Da vi skulle finde midtpunkterne, så var det et vægtet gennemsnit, hvor de vejede lige meget. Du fandt blot gennemsnittet af dem. Da du er tættere på denne side, så bruger du et vægtet gennemsnit. x-koordinaten bliver derfor 2/3 gange (a + b)/2 + 1/3 gange 0. y- koordinaten bliver 2/3 gange c/2 + 1/3 gange 0. Hvorfor bruger vi 2/3 og 1/3? Fordi vi er dobbelt så tæt på det punkt, som vi er på dette punkt. Kan det reduceres? Dette 2 går ud med det 2. Dette er 0, så vi få (a + b)/3 for x-koordinaten. For y-koordinaten er dette 0. Dette 2 går ud med det 2 og vi får c/3. Nu har vi fundet et punkt, som helt sikkert ligger på den blå median. Lad os gøre det samme med den lyserøde median. Hvad er koordinaterne på den lyserøde median, som er dobbelt så langt fra hjørnet som fra den modsatte side? Vi gør det på præcis den samme måde. Vi vægter disse koordinater dobbelt så meget. x-koordinaten bliver 2/3 gange b/2 + 1/3 gange a. y-koordinaten bliver 2/3 gange c/2 + 1/3 gange 0 Hvad bliver det? Dette 2-tal går ud med det 2-tal. Tilbage har vi b/3 + a/3, som er det samme som (a+b)/3. Her er der 0 og de går ud med hinanden, så det er c/3. Det samme koordinatsæt ligger både på den blå og den lyserøde median. Det må være det sted de skærer hinanden. Lad os se, om det også er sandt for den orange median. Vi gør præcis det samme med den orange median. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at finde punktet. Hvad er koordinaterne for punktet på den orange median, hvor denne afstand er dobbelt så stor, som den afstand? Samme metode. Vi vægter dette punkt dobbelt så meget. x-koordinaten bliver 2/3 gange a/2 + 1/3 gange b. y-koordinaten bliver 2/3 gange 0 + 1/3 gange c. Hvad har vi så? Dette går ud med det, så vi har a/3 + b/3, som er det samme som (a + b)/3. Her har vi 0, så tilbage har vi c/3. Nu har vi vist, at disse koordinater ligger på alle tre medianer. Derfor må alle tre medianer skærer hinanden i det punkt. Punktet ligger på alle medianerne. Det har vi lige vist. Det gælder for en vilkårlig trekant. Du kan lave denne trekant med en vilkårlig størrelse ved at ændre værdierne for a, b eller c. Hvis du har en trekant med samme størrelse men den har en anden position, så kan du lave en stiv transformation, som ikke ændrer nogle af størrelserne. Du kan dermed vise, at dette også gælder for den trekant.