Brug af ligedannede og kongruente trekanter

I denne opgave får vi at vide, at trekant ACE er ligebenet. Det er den store trekant, vi har her. Ligebenet betyder, at den har to lige lange sider. Vi ved også om ligebenede trekanter, at vinklerne ved grundlinjen er ens. Disse to vinkler er lige store. Den side er lig længden af denne side. Vi kan sige, at AC er lig med CE. Alt dette får vi fra dette første udtryk. Så får vi flere oplysninger eller mere information. De siger, at CG er lig 24. Det her er CG. Længden af CG er 24. De siger, at BH er lig med DF, så disse to er kongruente. De har samme længde. Dernæst siger de, at GF er lig med 12. Dette er GF. GF er lig 12. Det er denne afstand her. Til sidst får vi at vide, at FE er lig med 6. Dette er FE. Til sidst bliver vi spurgt, hvad arealet af CBHFD? De spørger os, hvad arealet af denne del er? Den del og denne del herovre. Det er CBHFD. Lad os tænke over, hvordan vi gør det. Vi kan prøve at bestemme arealet af den store trekant, og så trække arealerne af enderne fra. Så kan vi bestemme dette midter-areal, som jeg har farvet. Vi har ikke alle oplysninger til at kunne gøre det. Vi kender højden i denne trekant, men vi kender ikke grundlinjen. Hvis vi har grundlinjen, kan vi sige 1/2 gange grundlinje gange højde. Det er arealet af denne trekant, hvorfra vi skal trække disse arealer. Vi har ikke nok oplysning der heller. Vi kender ikke højden. Når vi har den højde kan vi bestemme denne højde, men vi ved ikke hvad denne længder er. Lad os lave det trin for trin. Det første vi gør er, som du måske har gættet, fordi vi har talt meget om ligedannethed, at opstille et udtryk for ligedannethed, da der er flere ligedannede trekanter. For eksempel trekant CGE deler denne vinkel med trekant DFE. De har denne orange vinkel tilfælles og de har begge en ret vinkel. De har to vinkler til fælles. De er ligedannede med vinkel-vinkel. Du kan vise, at der en tredje vinkel til fælles, fordi disse er parallelle linjer. Vi kan skrive, at trekant CGE er ligedannet med trekant DFE Det ved vi med vinkel-vinkel. Vi har et sæt af tilsvarende kongruente vinkler. Denne vinkel er i begge trekanter, så det er et par af tilsvarende vinkler. Nu da vi ved, at de er ligedannede, kan vi opstille forholdet mellem siderne. Vi har nemlig nogle oplysninger om nogle af siderne. Vi ved, at forholdet mellem DF og dens tilsvarende side CG, som er 24 er det samme som forholdet mellem FE, som er 6, og GE, som ikke er 12, men 12 + 6, altså 18. 6/18 er det samme som 1/3. Så 3 DF er lig med 24. Vi gangede på begge side med 24 og gangede begge sider med 3. Så får du dette. Faktisk kan du blot gange begge sider med 24, så får du 24 gange 1/3, men vi gør det på denne måde. Dividerer begge sider med 3. Du får DF er lig 8. Vi har fundet ud af, at DF er lig 8, denne længde her. Det er nyttigt, da vi så ved, at denne længde her, også er lig 8. Hvad kan vi så gøre nu? Det ser ud til vi kan lave endnu et forhold om ligedannethed, da vi har denne vinkel her. Den er kongruent med den vinkel der. Vi har også denne vinkel, som er 90 grader, og der er en 90-graders vinkel er. Vi har derfor nok information til at sige, at vi har to ligedannede trekanter. Vi behøver ikke at vise, at de har en kongruent side her. Vi kommer til at vise, at disse er kongruente trekanter. Vi har to vinkler, så vi kan faktisk gå direkte til kongruens. Når vi taler om kongruens, hvis du har en vinkel der er kongruent med en anden vinkel, endnu en vinkel, der er kongruent med endnu en vinkel, og en side, der er kongruent med en anden side, så har du to kongruente trekanter. Lad mig skrive det her i pink. Trekant AHB er kongruent med -- få tilsvarende vinkler korrekt -- trekant EFD. Det ved vi med vinkel-vinkel-side kongruens. Når de to trekanter er kongruente, gør det tingene nemmere for os. Når denne side er 8, så er den her side 8. Men det vidste vi godt. Det er sådan vi påviste kongruens. Hvis denne side har længden 6, så har den tilsvarende side i denne trekant også længden 6. Vi kan skrive, at denne længde også er 6. Jeg tror, du kan se, hvor det bærer hen, men vi skal stadig vise det. Vi skal være sikre på, hvad arealet er. Vi kan ikke sige, måske er dette det samme. Vi skal påvise det. Hvordan gør vi det? Vi har næsten fundet hele grundlinjen i denne trekant, men vi mangler at bestemme længden af HG. Vi kan igen bruge ligedannethed. Trekant ABH er ligedannet med trekant ACG. De har begge denne vinkel her. Og de har begge en ret vinkel. ABH har en ret vinkel lige her. ACG har en ret vinkel lige der. Vi har to par af tilsvarende vinkler, der er lige store, så trekanterne er ligedannede. Trekant AHB er ligedannet med trekant AGC. Du skal sikre dig, at vinklerne er i den rigtige rækkefølge. A er den orange vinkel. G er den rette vinkel og C er den umærket vinkel. Den er ligedannet med trekant AGC. Nu kan vi bruge disse forhold til at finde ud af, hvad HG er lig. Vi kan sige, at vi har 8/24, BH over dens tilsvarende side i den store trekant, så 8/24 er lig med 6 over ikke HG, men over AG. Jeg tror du kan se, hvor det bærer hen. Du har 1/3 er lig 6 / AG. Vi kan gange med den omvendte, og så får vi, at AG er lig med 18. Hvis AG er 18 og AH er 6, så er HG 12. Det er måske, hvad du ville have gættet, hvis du blot prøvede at gætte. Men nu har vi påvist, at grundlinjen har længden -- vi har 18 og 18 -- så hele længden er 36. Hele grundlinjen er 36. Nu kan vi bestemme arealet af hele den ligebenet trekant. Arealet af ACE er lig 1/2 gange grundlinjen, som er 36 gange 24. Det er det samme som 1/2 gange 36 og det er 18. 18 gange 24. Det udregner jeg heroppe. 18 gange 24. 8 gange 4 er 32. 1 gange 4 er 4 plus 3 er 7. Vi skriver et 0 hernede, da det ikke 2, men 20. 2 gange 8 er 16. 2 gange 1 er 2 plus 1 er 3, så det er 360. Vi lægger sammen, 2 her, 7 + 6 er 13 og 1 + 3 er 4. Arealet af trekant ACE er altså 432 Men vi er ikke færdige endnu. Det areal vi skal bestemme er arealet af hele trekanten minus dette areal og minus det areal. Hvad er arealet af disse ender? Det er lig med 1/2 gange 8 gange 6, og 1/2 gange 8 er 4 gange 6, som er 24. Arealet af den her er 24, og dette er også 24. Arealet af den farvede del er 432 - 24 - 24, eller -48. -- det kan vi gøre i hovedet -- Hvis vi trækker 32 fra, får vi 400, og så skal vi trække 16 mere fra. Trækker vi 10 fra 400, får vi 390, og så skal vi trække 6 fra og det er 384. af en eller anden slags enheder. Hvis det er i meter, så er det kvadratmeter. Hvis det er centimeter, så der det kvadratcentimeter. Gjorde jeg det rigtigt? Lad mig prøve at lægge 40 til dette, 24 + 8 er 432. Jeps, vi er færdige.