Bevis: Parallelle linjer har samme hældning

I denne video vil jeg bevise, at parallelle linjer har ens hældningstal. Lad mig tegne nogle parallelle linjer. Det er en linje og jeg tegner lige den anden linje, der er parallel med den. Jeg hævder, at det er parallelle linjer. Nu vil jeg tegne nogle transversaler. Lad mig først lave en vandret transversal. Sådan. Nu laver jeg en lodret transversal. Sådan. Jeg antager, at den grønne er vandret og den blå er lodret. Vi antager derfor, at de er vinkelrette på hinanden, at de skærer hinanden i rette vinkler. Jeg vil bruge dette samt nogle egenskaber ved parallelle linjer og vinkler til at vise, at den trekant og denne trekant er ligedannede og dernæst bruge det til at vise, at de gule linjer har samme hældningstal. Lad mig mærke nogle punkter her. Lad os kaldet det punkt A, punkt B, punkt C, punkt D og punkt E. Sådan. Først og fremmest, så ved vi, at vinkel CED er kongruent med vinkel AEB, da de begge er rette vinkler. Det er en ret vinkel og dette er en ret vinkel. Vi ved nogle ting om ensliggende vinkler, hvor transversaler skærer parallelle linjer. Denne vinkel er ensliggende med den her, når vi ser, hvor den blå transversal skærer de to linjer. De er derfor lige store og er kongruente. Denne vinkel på den ene side af punkt B er ligeledes kongruent med den her, da de er topvinkler. Det har vi set på mange gange før. Så vi ved at vinkel ABE er kongruent med vinkel ECD. Nogle gange kaldes de for indvendige vekselvinkler ved parallelle linjer. Hvis du ser på trekant CED og trekant ABE, så har vi allerede vist, at de har to fælles vinkler. Og når de har to fælles vinkler, så er den tredje vinkel også den samme. Da den tredje vinkel er 180 minus de andre to. Denne vinkel er 180 minus de andre to. Nu ved vi, at alle tre vinkler er ens i begge disse trekanter, Ikke blot er de ens, men at alle tilsvarende vinkler, burde jeg sige, er ens. Denne blå vinkel har samme mål som den blå vinkel. Den magenta vinkel har samme mål som denne magenta vinkel og de andre vinkler er rette vinkler. Det er retvinklet trekanter. Vi kan sige, at trekant AEB er ligedannet med trekant DEC med vinkel-vinkel-vinkel ligedannethed. Alle tilsvarende vinkler er kongruente, så vi har ligedannede trekanter. Vi ved, at i ligedannede trekanter er forholdet mellem tilsvarende sider det samme. Vi kan derfor sige, at forholdet mellem BE -- den blå side -- og AE er lig med? Den side over denne side. Den tilsvarende side til BE er CE. Dette er det samme som forholdet mellem CE og DE. Dette får vi fra de ligedannede trekanter. Fordi vi har vist, at disse trekanter er ligedannede, så kan vi sige, at forholdet mellem tilsvarende sider er det samme. Hvad er forholdet mellem BE og AE? Det er hældningstallet på den øverste linje. Vi kan sige, at det svarer til hældningstallet af den linje, der forbinder A og B. Eller jeg kan skrive hældning af linje AB. Husk, når du går fra A til B, så er hældningstallet ændring i y over ændring i x. Når du går fra A til B, så er ændringen i x lig AE og ændringen i y er BE, eller EB. eller hvad du kalder den. BE er ændring i y og AE er ændring i x. Lad os se på det andet udtryk CE / DE. Det bliver ændring i y over ændring i x mellem punkt C og D. Det er hældningstallet på linje CD. Så ved at fastslå ligedannethed, så kan vi sige, at forholdet mellem tilsvarende sider er kongruente, som viser os, at hældningstallet på disse to linjer er den samme. Og vi er færdige.