Bevis for at hældning er konstant ved hjælp af ligedannethed

Vi får at vide i algebra, at hvis vi har en linje er forholdet mellem ændringen i y og ændringen i x konstant. Det betyder, at linjen har en konstant hældning. Hældning er defineret som -- denne trekant hedder delta, og den betyder ændring i -- ændring i y over ændring i x. For en linje er dette konstant. I den her video vil jeg bevise det ved at bruge ligedannede trekanter. Lad os vælge to sæt af to punkter. Her er et punkt. Vi starter her. Vi slutter her. Hvad er ændringen i x mellem de 2 punkter? Det her punkts x-værdi er her og det her punkts x-værdi er her. Ændringen i x er det her. Hvad er ændringen i y? Her er den første y-værdi. Her er den anden y-værdi. Det her er altså ændringen i y. Lad os nu se på 2 andre punkter. Dette punkt og det her punkt. Lad os gøre det samme. Hvad er ændringen i x? Her er den første x-værdi og her er den anden x-værdi. Vi starter her og slutter her. Det her er ændringen i x mellem de to punkter. Ændringen i y? Den ene y-værdi er her og den anden y-værdi er der. Ændringen i y er altså det her. Jeg har valgt 2 tilfældige punkter. Jeg skal vise, at forholdet mellem denne ændring i y over denne ændring i x er det samme som forholdet mellem denne ændring i y over denne ændring i x. Vi skal vise, at forholdet mellem denne lilla side og denne grønne side er det samme som forholdet mellem denne lilla side og denne grønne side. Husk jeg har valgt to sæt af vilkårlige punkter. Vi skal bevise det med ligedannethed. Hvis jeg kan bevise, at denne trekant er ligedannet med denne trekant så er vi i mål. Lad os lige gennemgå, hvad ligedannethed er. To trekanter er ligedannede, hvis og kun hvis alle tre par af tilsvarende vinkler er kongruente. Det betyder ikke, at alle vinklerne er lige store. De tilsvarende vinkler skal være ens. De er kongruente. Jeg har denne trekant. Den her er 30°, den her er 60°, og den her er 90°. Her er en anden trekant, hvor den her er 30°, den her er 60° og den her er 90°. Selvom siderne ikke er lige lange, så er trekanterne ligedannede. Det er skalerede udgaver af hinanden. Dette 60 svarer til dette 60. 30 svarer til dette 30 og 90 svarer til dette 90. De to trekanter er ligedannede. Hvis du kan vise, at to trekanter er ligedannede så er forholdet mellem tilsvarende sider det samme. Hvis disse er ligedannede, så er forholdet mellem denne side og den side det samme som forholdet mellem denne side og den side. Meget nyttigt når vi skal bevise, at hældningen er konstant. Hvis disse trekanter er ligedannede, så er forholdet mellem de tilsvarende sider ens. Vi har valgt to vilkårlige sæt af punkter. Derfor gælder det for alle to vilkårlige sæt af punkter på linjen. Derfor gælder det for hele linjen. Lad os bevise ligedannethed. Vi ved, at begge trekanter er retvinklede. De grønne linjer er helt vandrette. De lilla linjer er helt lodrette. De grønne linjer går i den vandrette retning. De lilla linjer går i den lodrette retning. Lad mig vise det. De er begge rette vinkler. Vi har et par af tilsvarende vinkler, der er kongruente. Nu skal vi vise, at de andre også er. Det kan vi gøre ved at bruge vores viden om parallelle linjer og transversaler. Lad os se på de to grønne linjer. Vi tegner dem længere. Det er linjestykker, men vi tegner dem som uendelige linjer. Den linje er tydeligvis parallel med den. De er helt vandrette. Vi se den orange linje som en transversal. Når vi gør det, ved vi, at de her vinkler er ensliggende. Vi ved, at ensliggende vinkler ved parallelle linjer er kongruente. Den vinkel er kongruent med den vinkel. Vi bruger samme logik for denne vinkel, men nu bruger vi de to lodrette linjer. Vi kan forlænge linjestykket som en linje. Vi gør det samme med den her. Vi ved de begge er lodrette. De bevæger sig kun i y-retningen. Den linje er parallel med den linje. Den orange linje er igen en transversal. Den vinkel er ensliggende med den vinkel. Derfor er de kongruente. Ensliggende vinkler ved parallelle linjer er kongruente. Det ved vi fra geometri. Sådan. Den vinkel er kongruent med den vinkel. Denne vinkel er kongruent med den vinkel. Disse er begge 90°. Det er altså ligedannede trekanter. Lad os skrive det ned. Vi ved, de er ligedannede trekanter. Vi ved, at sideforholdene er ens. Hvis vi siger, denne side har længden a, og denne har længden b og denne har længden c. og denne har længden d, så ved vi, fordi de er ligedannede, at forholdet mellem a og b er lig med forholdet mellem c og d. Det forhold er definitionen af hældningen. Din ændring i y over ændring i x. Det er konstant, da enhver retvinklet trekant, du laver mellem disse punkter, har vi lige vist, vil være ligedannet. Og hvis de er ligedannede, så er forholdet mellem det lodrette linjestykke og det vandrette linjestykke konstant. Det er definitionen af hældningen. Så hældningen er konstant for en linje.