Ligedannethed og trigonometriske forhold i retvinklede trekanter

Vi har her to retvinklede trekanter. Vi ved også, at de begge har vinklen θ. Vinkel A er kongruent med vinkel D. Hvad ved vi så, om disse trekanter? For enhver trekant hvis du kender to vinkler, så kender du den tredje vinkel, da vinkelsummen i en trekant altid er 180°. Når du har to fælles vinkler, så har du altså også tre fælles vinkler. Når du har tre fælles vinkler, så har du ligedannede trekanter. Lad mig gøre det lidt mere tydeligt. Denne vinkler er θ og denne er 90°. De tre vinkler har summen 180°. Det betyder, at den vinkel plus den vinkel skal være lig 90°. Vi har allerede brugt 90 her. Vinkel A og vinkel B er komplementære. Denne vinkel her skal være 90 - θ. Vi kan bruge samme logik herover. Vi har allerede brugt 90° her. Vi har 90° tilbage, der deles af θ og denne vinkel. Denne vinkel er derfor 90° - θ. Du har tre tilsvarende vinkler, der er kongruente. Vi har ligedannede trekanter. Hvorfor er det spændende? Vi ved fra geometrien, at forholdet mellem tilsvarende sider i ligedannede trekanter altid er det samme. Lad os se på de tilsvarende sider. Den side, der springer i øjnene med retvinklede trekanter, er hypotenusen. Dette er hypotenusen. Den hypotenuse svarer til den hypotenuse herover. Det kan vi skrive. Hypotenusen i denne tekant. Dette er hypotenusen i den trekant. Siden BC, hvad side svarer den til? På trekanten kan du se, at det er den modstående side til θ. Den er overfor, når du krydser trekanten. Hvad er modsat vinkel D? Når du går modsat vinkel A, så får du BC og modsat vinkel D får du EF, altså denne side. Til sidst har vi side AC tilbage. Der er to sider, der danner vinkel A. En af dem er hypotenusen. Denne kaldes den hosliggende side. Da D svarer til A, så er dette den tilsvarende side. Grunden til at jeg gennemgik dette er for at jeg kan sige, at forholdet mellem tilsvarende side i ligedannede trekanter altid er det samme. For eksempel forholdet mellem BC og hypotenusen BA, altså BC/BA er lig EF/ED. Længden af linjestykke EF over længden af linjestykke ED. Vi kan også skrive, at AC/AB er lig DF/DE. Den grønne side over den orange side. De er ligedannede trekanter, så siderne er tilsvarende med hinanden. Derfor er det lig DF/DE. Jeg laver en mere. Vi kan sige, at forholdet mellem den blå side og den grønne side, som i denne trekant er BC/CA er lig de tilsvarende sider EF/DF. Vi ved alt dette, fordi det er ligedannede trekanter. Dette er sandt for enhver retvinklet trekant med vinklen θ. Da trekanterne, så er ligedannede og alle disse forhold er de samme. Lad os navngive forholdene set fra vinklen θ. Set fra vinklen θ, hvad er forholdet mellem disse to sider? Set fra θ, så er den blå side den modstående side. Den er på den modsatte side af den retvinklet trekant. Den orange side er hypotenusen. Set fra θ er dette den modstående side over hypotenusen. Jeg gentager set fra θ, da det er anderledes set fra vinkel B. Set fra vinkel B er det den hosliggende side over hypotenusen. Det kan vi se på senere. Men alt dette er set fra θ. Set fra θ, hvad er dette? θ er lige her. AB og DE er stadig hypotenusen. -- hypotenuserne i flertal -- Hvad er AC og hvad er DF? De er hosliggende. De er en af de to sider, der danner θ og de er ikke hypotenusen. Dette forhold i de to trekanter er mellem den hosliggende -- siden er modstående til vinkel B, men vi ser på det fra A eller θ eller vinkel D -- Set fra vinkel A er AC hosliggende. Set fra vinkel D er DF hosliggende. Forholdet er hosliggende over hypotenusen. Det er det samme for enhver retvinklet trekant med vinklen θ. Til sidst i begge trekanter er det den modstående side over den hosliggende side. Jeg vil understrege endnu engang og vi skal se på det i flere eksempler, at for enhver retvinklet trekant med vinklen θ, så er forholdet mellem den modstående side og hypotenusen det samme. Fordi trekanterne er ligedannede, som vi så tidligere. Forholdet mellem den hosliggende side til θ og hypotenusen er det samme for enhver trekant med vinklen θ. Set fra vinkel θ er forholdet mellem den modstående side og den hosliggende side, mellem den blå side og den grønne side, altid det samme. Dette er ligedannede trekanter. Derfor har matematikere besluttet at navngive disse ting. Set fra vinkel θ, så er dette forhold altid det samme, modstående side over hypotenusen, og man kalder det sinus til theta. -- lad mig bruge en ny farve -- Per definition er dette sinθ, som vi skal se mere til fremover. Dette lige her er per definition cosθ. Og dette her over er per definition tanθ. Man indså, at for ligedannede retvinklede trekanter med vinklen θ, så er dette forhold altid det samme. For ligedannede retvinklede trekanter med vinklen θ, så er dette forhold altid det samme og dette forhold er altid det samme. Lad os bruge dem som definitioner. Vi kan huske dem med reglen Mod Hos ModHos. --[på engelsk soh cah toa]-- Mod betyder sinus er modstående over hypotenusen. Hos betyder cosinus er hosliggende over hypotenusen og ModHos betyder tangens er modstående over hosliggende. Mod Hos ModHos. I fremtidige videoer skal vi bruge disse definitioner for de trigonometriske funktioner.