Keglesnit

Keglesnit er de kurver, du får, når du skærer en kegle i forskellige vinkler. Der er fire typer af keglesnit: ellipser, hyperbler, parabler og cirkler.

Keglesnit dukker op en masse steder! For eksempel, kredser planeter omkring solen i elliptiske baner. Hyperbler bruges ofte i udformningen af teleskoper og antenner. Parabler er vigtige i fysik, da de beskriver formen af projektiler i frit fald.

Cirklens ligning på standardform er $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$‍. Når ligningen er skrevet på denne form kan vi direkte aflæse, at den har centrum i punktet $(h,k)$‍ og har en radius på $r$‍.

For eksempel repræsenterer ligningen $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=16$‍ en cirkel med centrum i $(-2,3)$‍ og en radius på $4$‍.

En parabel er alle punkter, der er lige langt fra et fast punkt ("brændpunktet") og en fast linje ("ledelinjen").

Vi bruger det faktum, at ethvert punkt $(x,y)$‍ på parablen skal være lige langt fra brændpunktet og ledelinjen.

Lad os se på parablen med brændpunkt i $(-3,6)$‍ og en ledelinje givet $y=4$‍. Ethvert punkt på parablen er $(x,y)$‍.

Ved at bruge afstandsformlen kan vi skrive afstanden mellem $(x,y)$‍ og fokus $(-3,6)$‍ som udtrykket $\sqrt{(x+3{)}^2+(y-6{)}^2}$‍. Ligeledes kan vi bruge afstandsformlen til at skrive afstanden mellem $(x,y)$‍ og ledelinjen $y=4$‍ som udtrykket $\sqrt{(y-4{)}^2}$‍. I en parabel skal disse afstande være lige store: