If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Videregående geometri

Emne: (Videregående geometri > Emne 2

Modul 3: Egenskaber og definitioner af transformationer
Matematik
Videregående geometri
Egenskaber og beviser for transformationer
Egenskaber og definitioner af transformationer
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Præcis definition af drejninger

Google Classroom
Læs en dialog mellem en lærer og en elev, hvor de arbejder mod at definere drejninger så præcist som muligt.
Dialogen nedenfor er mellem en lærer og en elev. Deres opgave er at beskrive drejninger så præcist som muligt ved at bruge et matematisk sprog. Som du vil se, må eleven flere gange revidere sin definition, så den bliver mere præcis. God fornøjelse!
Lærer:
I dag skal vi prøve at beskrive, hvad drejninger er.
Antag vi har en drejning på θ grader omkring punkt P. Hvordan vil du beskrive den effekt drejningen har på punkt A?
Elev:
Hvad mener du? Hvordan kan jeg vide, hvad drejningen har gjort ved A, når jeg ikke ved noget om den?
Lærer:
Det er rigtigt, at du ikke ved noget om denne drejning eller A, men alle drejninger har fælles egenskaber. Prøv at overvej, hvad en drejning kan gøre ved A?
Elev:
Hmmmm... Ok, lad mig se... Jeg tror A er flyttet til en ny position i forhold til P. Hvis A lå til højre for P, så ligger det nu over P eller noget i den retning. Det afhænger af, hvor stor θ er.
Tre punkter er vist. Punkt P til venstre og punkt A til højre for det. En buet pil går fra A til et umærket punkt højere oppe, der har samme afstand til P som A har.
Lærer:
Nemlig. Vi kan beskrive det, du sagde, således:
Tre punkter er vist. Punkt P til venstre og punkt A til højre for det. Et vandret linjestykke forbinder de to punkter. En buet pil går fra A til punkt B højere oppe, der har samme afstand til P som A har. Et linjestykke forbinder P og B. Vinklen A P B er mærket theta.
Hvis drejningen flytter A over i punkt B, så vil vinklen mellem PA― og PB― være θ.
Elev:
Ja, det er jeg helt enig i.
Lærer:
Husk i matematik er det vigtigt at sproget er meget præcist. Er der kun én måde at lave en vinkel ∠P på, så den er lig med θ?
Elev:
Øh... Nej, der er to måder med eller mod uret.
Fire punkter er vist. Punkt P til venstre og punkt A til højre for det. Et vandret linjestykke forbinder de to punkter. En buet pil går fra A til punkt B højere oppe, der har samme afstand til P som A har. Et linjestykke forbinder P og B. Vinklen A P B er mærket theta. Endnu en buet pil går fra A til endnu et punkt B længere nede, der har samme afstand til P som A har. Et linjestykke forbinder P og B. Vinklen A P B er mærket theta.
Lærer:
Nemlig! Drejninger er altid mod uret og det bør indgå i vores definition:
En drejning på θ grader omkring punkt P flytter ethvert punkt A mod uret til punkt B, så ∠APB=θ.
Nu skal vi naturligvis huske, hvis θ er negativ, så bliver drejningen i den modsatte retning, altså med uret.
Elev:
Ok, er vi færdige?
Lærer:
Hvad synes du? En definition skal klart og tydeligt vise, hvor A flyttes hen. Med andre ord, der må kun være et punkt, der opfylder beskrivelsen af B.
Er der kun ét punkt, der danner en vinkel mod urets retning, som er lig med θ?
Elev:
Det tror jeg... Nej! Vent! Der er mange punkter, der danner denne vinkel! Alle punkter, der ligger på halvlinjen, der går fra P gennem B danner vinklen θ med A.
12 punkter er vist. Punkt P til venstre og punkt A til højre for det. Et vandret linjestykke forbinder de to punkter. En halvlinje går ud fra P. Vinklen mellem halvlinjen og linjestykket er mærket theta. På halvlinjen ligger 10 punkter alle mærket med et spørgsmålstegn.
Lærer:
Godt opdaget! Tror du, du kan forbedre vores definition?
Elev:
Ja, udover at vinklen skal være lig med θ, så skal afstanden til P være den samme. Jeg tror, man kan skrive det matematisk som PA=PB.
Lærer:
Flot! Lad os skrive følgende definition:
Fire punkter er vist. Punkt P til venstre og punkt A til højre for det. Et vandret linjestykke forbinder de to punkter. En buet pil går fra A til punkt B højere oppe, der har samme afstand til P som A har. Et linjestykke forbinder P og B. Vinklen A P B er mærket theta. De to linjestykker er mærket med en lille tværstreg, der viser de er kongruente.
En drejning på θ grader omkring punkt P flytter ethvert punkt A mod uret til punkt B, så linjestykkerne PA=PB og ∠APB=θ.
Elev:
Wow, det lyder super præcist!
Lærer:
Det gør det. Som en bonus lad mig vise dig en anden version af definitionen af en drejning:
En cirkel med centrum mærket P. Punkterne A og B ligger på cirklen. Et vandret linjestykke forbinder P med A og et linjestykke forbinder P med B. En buet pil går fra A til punkt B. Vinklen A P B er mærket theta.
En drejning på θ grader omkring punkt P flytter ethvert punkt A mod uret til punkt B, så både A og B ligger på den samme cirkel med centrum i P og ∠APB=θ.
Elev:
Ja, sådan kan man også sige det, da alle punkter på en cirkel har den samme afstand til centrum.
Lærer:
Det er rigtigt! Det største forskel på de to definitioner er, at den første bruger linjestykker og den anden bruger en cirkel.
Elev:
Ok, er vi færdige?
Lærer:
Ja, jeg tror vi har defineret drejninger så præcist som vi kan.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.