Definitionsmængde og værdimængde for invers tangens funktionen

Vi får at vide, når g(x) = tan(x - 3𝜋/2) + 6, find g⁻¹ (x). Vi skal indsætte den her og så skal vi også finde definitionsmængden for g⁻¹ (x). Jeg bruger lige min scratch- pad til at arbejde på. Lad os finde ud af, hvad g⁻¹ (x) er. Dette er g(x). g(x) = tan(x -3𝜋/2)+ 6. For at finde g⁻¹ (x) kan jeg erstatte x med g⁻¹ (x) og og erstatte g(x) med x og løse for g⁻¹ (x). Jeg kan skrive, at x er lig tan(g⁻¹ (x) - 3𝜋/2) + 6. Lad os løse for g⁻¹ (x). Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se, om du selv kan løse den. Lad os trække 6 fra på begge sider og i det mindste slippe af med 6 her. Tilbage har jeg x - 6 er lig tan(g⁻¹ (x) - 3𝜋/2). Lad os tage invers tangens på begge sider af ligningen. Invers tangens på den venstre side bliver tan⁻¹ (x - 6). På den højre side er invers tangens til tangens -- hvis vi begrænser definitionsmængden ordentligt og det snakker vi om om lidt -- så er dette blot inputtet i tangens funktionen. Hvis du begrænser definitionsmængden korrekt, så er tan⁻¹ (tanθ) = θ. Hvis vi begrænser definitionsmængden, altså de mulige værdier af θ på den rette måde. Lad os antage, at vi har gjort det. Så er den inverse tangens til tan(g⁻¹ (x) - 3𝜋/2) blot lig med alt dette her. Det bliver lig med g⁻¹ (x) - 3𝜋/2. Nu er vi næsten i mål. For at isolere g⁻¹ (x), lægger vi 3𝜋/2 til på begge sider. Lad mig lige bytte rundt på de to sider. Vi får g⁻¹ (x) = tan⁻¹ (x-6) og så lægger vi 3𝜋/2 til på begge sider, så denne side er nu herover, så +3𝜋/2 Lad mig nu skrive det i feltet, hvis jeg kan huske det hele, da jeg skifter til den anden skærm. tan⁻¹ (x-6) +3𝜋/2. Lad mig indsætte det. g⁻¹ (x) er lig tan⁻¹ (x-6) +3𝜋/2, den skriver arctan(x-6) + 3𝜋/2. Nu skal vi finde ud af, hvad definitionsmængden for g⁻¹ (x) er. Lad os lige tænke os om. Definitionsmængden for g⁻¹ (x)? Lad os huske på, hvad tangens er. Tangens funktionen, når vi husker på enhedscirklen. Dette er en enhedscirkel. Vi kan lade som om, det er en enhedscirkel, da min pen ikke opfører sig helt som den skal. Den laver mellemrum men jeg tror vi kan leve med det. Lad os sige, at dette er en enhedscirkel. Dette er x-aksen og dette er y-aksen. Hvis du laver en vinkel θ her, så er tangens til θ, jo egentlig hældningen af vinklens anden halvlinje. Vinklen er dannet af denne halvlinje og halvlinjen langs den positive x-akse. Tangens til θ er denne hældning. Du kan tage tangens til enhver θ bortset fra et par stykker. Du kan finde tangens af denne. Du kan finde hældningen her. Du kan finde hældningen der. Du kan også finde hældningen her. Du kan finde hældningen der, men du kan ikke finde hældningen, når halvlinjen går lige op eller halvlinjen går lige ned. Det er de steder, hvor du ikke kan finde hældningen. Der nærmer hældningen sig plus eller minus uendelig. Definitionsmængden for tangens er alle reelle tal bortset fra multipla af 𝜋/2 plus multipla af 𝜋, altså bortset fra 𝜋/2 + 𝜋∙k, hvor k kan være ethvert heltal, så du kan også trække 𝜋 fra. Når du har 𝜋/2 og lægger 𝜋 til, så går du herned, og hvis du lægger 𝜋 til igen, så går du op her. Hvis du trækker 𝜋 fra går du herned og trækker 𝜋 fra igen, så er du heroppe. Dette er definitionsmængden og med denne definitionsmængde, kan du få ethvert reelt tal. Værdimængden er alle reelle tal, fordi du kan have enhver hældning. Du kan øge θ, hvis du vil have en meget stejl hældning og mindske θ, hvis du vil have en meget negativ hældning. Du kan få enhver værdi. Men når vi ser på inverse tangens, så siger konventionen, for at lave tangens invertibel, så kan du ikke have flere elementer i din definitionsmængde knyttet til det samme element i værdimængden. For eksempel denne vinkel har præcis den samme hældning som den vinkel her. Hvis du har to θ'er knyttet til den samme tangens så må du begrænse definitionsmængden så den kun har én af dem ellers er den ikke invertibel. Konventionen for at gøre tangens invertibel er at begrænse dens definitionsmængde til intervallet fra -𝜋/2 til 𝜋/2 og så du kan konstruere den inverse tangens. For invers tangens, kan du putte ethvert reelt tal ind. Tangens' definitionsmængde er blot en konvention. De kunne have begrænset tangens' definitionsmængde til noget andet. Så længe der kun er en θ i definitionsmængden, der er knyttet til ethvert element i værdimængden. Men konvention er at begrænse tangens' definitionsmængde fra -𝜋/2 til 𝜋/2. Invers tangens' definitionsmængde er alle reelle tal, men dets værdimængde er begrænset. Igen konventionen siger, at værdimængden er fra -𝜋/2 til 𝜋/2, men ikke inklusiv disse to. Lad os gå tilbage til vores oprindelige opgave. Hvad er definitionsmængden for g⁻¹ (x)? Lad os se på definitionsmængden for g⁻¹ (x). Hvad er definitionsmængden af dette? Jeg kan indsætte ethvert reelt tal her, hvad kommer der så ud? Det bliver noget mellem -𝜋/2 og 𝜋/2. Men de spørger os ikke om værdimængden af g⁻¹ (x). Det ville have været et mere interessant spørgsmål. Vi spørges, hvad er definitionsmængden for g⁻¹ (x)? Jeg kan indsætte ethvert reelt tal i stedet for x. Lad os vælge det. Definitionmængden af g⁻¹ (x) er minus uendelig til uendelig. Lad os lige sikre os, at vi fik spørgsmålet korrekt og det gjorde vi. For sjovt og jeg er faktisk nysgerrig, lad os overveje, hvad hvad værdimængden for g⁻¹ (x) er. Værdimængden af dette her er mellem-𝜋/2 og 𝜋/2. Det er for den del her, men så skal vi lægge 3𝜋/2 til. Værdimængden for hele funktionen bliver for den nedre grænse, når vi lægger 3𝜋/2 til -𝜋/2, så bliver det 2𝜋/2, som blot er 𝜋. og så hele vejen til 3𝜋/2 + 𝜋/2. Det bliver 4𝜋/2 eller 2𝜋. Værdimængden af g⁻¹ (x) er 𝜋 til 2𝜋 og det er et åbent interval. Det inkluderer ikke endepunkterne. Definitionsmængden, der kan du indsætte enhver værdi for x og det er defineret.