Tangens overgangsformler: symmetri

I den forrige video så vi, hvordan cosinus og sinus til forskellige vinkler hænger sammen ved at spejle en vinkels vinkelben i x- eller y-aksen eller begge akser. I denne video vil jeg gerne se på tangens til disse forskellige vinkler. Først en lille gennemgang. Vi ved, at tan(θ) er lig sin(θ) over cos(θ). Ved at bruge enhedscirklens definition kan man også sige, at den svarer til hældningen af denne halvlinje. Vi husker, at hældning er stigning over fremdrift. Det er ændringen på den lodrette akse over ændringen i den vandrette akse. Hvis vi starter i origo, hvad er så ændringen på den lodrette akse, hvis vi går fra nul til sin(θ)? Vores ændring på den lodrette akse er sin(θ) Hvad er ændringen på den vandrette akse? Den er cos(θ). Dette er ændring i y over ændring i x for halvlinjen. Tan(θ) er sin(θ) over cos(θ) eller hældningen af denne halvlinje. Hvilke andre vinkler har præcis den samme tangens som tan(θ)? Denne halvlinje ligger oven i den halvlinje her. Du kan sætte dem sammen til en linje. Tangens til denne vinkel, den lyserøde vinkel, der går hele vejen rundt, tan(π + θ) eller tan(θ + π). Du kan naturligvis skrive θ + π i stedet for π + θ. Dette må være, ved at bruge hældningen, det samme som tan(θ). Lad os se, om det er korrekt. Disse to skal være lig hinanden, når vi er enige om, at tangens til en vinkel er lig med hældningen af dens anden halvlinje. Vinklens første halvlinje ligger på den positive x-akse ud fra de konventioner vi bruger. Hvad er tan(θ + π) udtrykt med sinus og cosinus? -- lad mig bruge lyserød -- tan(θ + π) er lig med -- parentesen gør det mere tydeligt -- sin(θ + π) over cos(θ + π). I den forrige video fandt vi ud af, at sin(θ + π) er det samme som -sin(θ). Vi ved allerede, at cos(θ + π) er det samme som -cos(θ). Vi har noget negativt divideret med noget negativt, så minustegnene går ud med hinanden. Tilbage har vi sin(θ) over cos(θ) som jo er lig tan(θ). Nu har vi så vist det. Hvad med disse punkter eller halvlinjerne her? Hvad med dette punkt? Hvad er tan(-θ)? Vi ved, at tan(-θ) er det samme som sin(-θ) over cos(-θ). Vi har allerede vist, at sin(-θ) er -sin(θ). Det kan vi se lige her, sin(-θ) er det omvendte af sin(θ), men cos(-θ) er det samme som cos(θ). Disse er det samme. Vi har -sin(θ) over cos(θ) som er det samme som -tan(θ). Vi kan se her, når vi tager den negative vinkel så får du den negative tangens. Det er fordi sinus, tælleren i vores definition af tangens, ændrer fortegn, mens nævneren ikke gør. tan(-θ) er det samme som -tan(θ). Hvad med dette punkt her? Nu skal vi sammenligne θ og π - θ. tan(π - θ) er lig sin(π - θ) over cos(π - θ). Vi ved allerede fra den forrige video, at sin(π - θ) er lig sin(θ). Vi kan se lige her, at de har den samme sinus værdi. Vi kan skrive sin(θ). Hvorimod cos(π - θ) er det omvendte af cos(θ), altså -cos(θ). Dette bliver også lig med minus sinus over cosinus eller -tan(θ), hvilket giver mening. Denne halvlinje har den samme hældning som denne halvlinje lige her. Den har hældningen -tan(θ). Vi kan se det ved blot at sammenligne disse to. Når du samler halvlinjerne, så har de to linjer, der skærer hinanden, den modsatte hældning af hinanden, de er spejlbilleder over x-aksen. Vi har lige vist, når du tager en vinkel og lægger π til den vinkel, så ændrer tangens ikke, da du kommer hen til den samme linje. Med π eller 180 grader, så går du i den modsatte retning, men hældningen af halvlinjen ændrer sig ikke. Derfor er tan(θ) det samme som tan(θ + π). Når du tager den omvendte vinkel, så får du den omvendte tangens. Når du går herover, hvor vinklen er π - θ, så får du også den omvendte tangens. Dette er nyttigt, når du forsøger at lave en trigonometri opgave eller finder sammenhænge eller bruger overgangsformlerne eller beviser overgangsformlerne. Det er det vi har gjort her, vi har bevist nogle overgangsformler. Det er meget nyttigt, at huske på disse symmetrier som der er på enhedscirklen.