Brug af additionsformel for tangens

I denne video skal vi forsøge at udregne tan(13𝜋/12) uden at bruge en lommeregner. Jeg vil give dig et par hints. Først og fremmest kan du omskrive tan(13𝜋/12), så i stedet for 13𝜋/12, så udtrykker du denne vinkel med vinkler, som vi kan finde tangens til ved at bruge det vi ved om enhedscirklen. 13𝜋/12 er det samme som 15𝜋/12 - 2𝜋/12. som er det samme som tan(5𝜋/4 - 𝜋/6) eller vi kan skrive det som + (-𝜋/6) Det er mit hint. Sæt videoen på pause og se om du kan fortsætte med dette ræsonnement og udregne tan(13𝜋/12) uden en lommeregner. Okay lad os fortsætte sammen. Vi ved allerede, hvad tangens til summen af to vinkler er. Det har vi bevist i en anden video. Vi ved, hvad det her er lig med tan(5𝜋/4) + tan(-𝜋/6) alt dette skal over 1 - tan(5𝜋/4)tan(-𝜋/6). Nu støver vi enhedscirklen af og finder ud af, hvad disse er. Jeg har allerede lavet nogle enhedscirkler. Lad os først finde ud af, hvor 5𝜋/4 er? 𝜋/4 er, husker du måske, 45°. Dette er 𝜋/4. 2𝜋/4 er her. 3𝜋/4 og så er du der. 4𝜋/4 er det samme som 𝜋 og vi er her. 5𝜋/4 er lige her omkring. Nu ved du måske allerede, at tangens til en vinkel er hældningen af radius, så du kan udlede, at tangens her er 1. Men vi kan også bruge vores viden om trekanter og enhedscirklen til at bestemme den, hvis du ikke vidste det. Vi skal finde koordinaterne af det punkt. Det kan vi gøre ved at lave en retvinklet trekant, som du måske med det samme genkender som en 45-45-90 trekant. Hvordan ved jeg det? Husk, dette er 4𝜋/4 og så gik vi yderligere 𝜋/4 for at komme herned. Så denne vinkel er 𝜋/4 eller 45°. Hvis den er 45° og den her er 90°, så må denne være 45°, da de i alt skal være 180°. Vi ved fra Pythagoras' læresætning, hvis denne trekant har en hypotenuse på 1, så er begge disse sider kvadratrod 2 over 2 gange hypotenusen, så den er √2 / 2. Og den her er √2 / 2. Hvis vi ser på koordinaterne, så er x-koordinaten √2 / 2 i den negative retning. x-koordinaten er -√2 / 2. og y-koordinaten er √2 / 2 nedad, så den er også -√2 / 2. Tangens er y-koordinaten over x-koordinaten. Tangens er derfor -√2 / 2 over -√2 / 2, som er 1, præcis som vi tænkte. Vi kan skrive tan(5𝜋/4) er lig 1. Hvad med -𝜋/6? Du ved måske allerede, at 𝜋/6 er en 30-graders vinkel. 𝜋 er 180°, divideret med 6, er 30°. -𝜋/6 er 30° under den positive x-akse. Det ser sådan her ud. Denne vinkel er 𝜋/6 eller 30°. Hvis vi laver en vinkelret linje her, så genkender du måske med det samme en 30-60-90 trekant. Vi ved, hvis hypotenusen er 1, så er den modsatte side til 30-graders vinklen 1/2 gange hypotenusen. og den længere ikke-hypotenuse side er kvadratrod 3 gange den korte side, så √3 / 2. Vores x-koordinat er, da vi flytter √3 / 2 i den positive x-retning, √3 / 2. Og du går -1/2 i y-retningen, så -1/2 her. Nu ved vi, at tan(-𝜋/6) er lig med -1/2 over √3 / 2, som er det samme som -1/2 gange 2 / √3, som er lig -1/√3. Denne her er 1. Det så vi her. Den her er 1. Og den her er -1/√3. Og denne er -1/√3. Nu kan jeg omskrive hele udtrykket som værende lig med 1 - 1/√3 alt dette over 1 -- jeg minus og minus, så det bliver plus -- alt dette over 1 + 1/√3. Når vi ganger både tæller og nævner med √3, så får vi i tælleren √3 - 1 og i nævneren er det √3 + 1. Og vi er færdige. tan(13𝜋/12) uden lommeregner.