Introduktion til arcus-cosinus

Jeg har allerede lavet en video om arcsin og arctan, så for fuldstændighedens skyld må jeg også hellere lave en video om arccos. Ligesom de andre inverse trigonometriske funktioner, så er arcus cosinus det samme princip. Når jeg siger, at arccos(x) = θ, så svarer til at sige, at den inverse cosinus til x er lig θ. Det er blot to forskellige måder at skrive helt den samme ting på. Når jeg ser arc et eller andet eller en inverse trig funktion, så siger min hjerne med det samme, hvis jeg tager cos(θ), så får jeg x. Begge disse svarer til denne her. Hvad er den inverse cosinus til x? Min hjerne siger, hvilken vinkel skal jeg tage cosinus til for at få x? Med det sagt, lad os prøve at lave et eksempel. Lad os udregne arccos(-1/2). Dette er lig en vinkel θ. Det svarer til at sige, cosinus til min ukendte vinkel er lig -1/2. Når jeg siger det på den måde, så bliver det i hvert fald nemmere for min hjerne at finde ud af. Lad os lave en enhedscirkel og se, om vi kan finde ud af det. Jeg kunne måske lave den lidt pænere. Jeg kunne måske bruge en lineal, så jeg kan tegne en ret line. Dette er min y-akse og min x-akse. Måske ikke de pæneste akser, men de er ok. Her er min enhedscirkel, der ligner en enhedsellipse, men du kan se, hvad jeg mener. Cosinus til en vinkel er på enhedscirklen defineret som retningspunktets x-værdi. Når vi har en vinkel, så er x-værdien -1/2 lige her. Den vinkel θ, vi skal løse for, skærer enhedscirklen ved x lig -1/2. Dette er θ, som vi skal forsøge at finde. Hvordan gør vi det? Dette er -1/2, lad os finde de forskellige vinkler. Det gør jeg ved at finde denne vinkel. Når jeg kender den vinkel, så kan jeg trække den fra 180° og finde denne blå vinkel, der er løsningen til vores opgave. Lad mig lige lave trekanten lidt større. Den trekant ser nogenlunde således ud. Denne afstand her er 1/2. Denne afstand er 1. Forhåbentlig kan du se, at dette er en 30 60 90 trekant. Du kan løse for den anden side og få √3 / 2, ved at bruge Pythagoras' læresætning. Lad mig lige gøre det. Lad os kalde den a. Du får a² + (1/2)², som er 1/4 er lig 1², som er 1. Du får a² er lig 3/4 eller a er lig √3 / 2. Du bør genkende 30 60 90 trekanten, fordi siderne i en 30 60 90 trekant, når hypotenusen er 1, er 1/2 og kvadratroden af 3 over 2. Den modstående vinkel til siden på √3/2 er 60 grader. Den her er 60. Den er 90, da det er den rette vinkel og denne er 30. Men vi skal kun bruge denne vinkel. Vi har lige fundet ud af, at den er 60°. Hvad med den større vinkel, som vi skal finde? Hvilken vinkel er supplementær til 60°? Den er supplementær til 120°. [Sal skrev forkert] arccos eller den inverse cosinus til -1/2 er lig 120°. Ups jeg skrev 180, det er 180 - 60. Det hele er 180, så dette er 120. 120 + 60 er 180. Hvis du vil skrive det i radianer, så får du 120° gange π radianer per 180°. Graderne går ud med hinanden. 12 over 18 er 2/3, så det er lig 2𝜋/3 radianer. Dette her er lig 2𝜋/3 radianer. På samme måde som vi så i arcsin og arctan videoerne, så kan du her sige, hvis jeg har 2𝜋/3 radianer, så er cosinusværdien -1/2. Jeg kan skrive cos(2𝜋/3) = -1/2. Det giver dig den samme information som dette udsagn. Men jeg kan fortsætte rundt om enhedscirklen. For eksempel, så er cosinus til denne vinkel også -1/2. Jeg kan gå 2𝜋 rundt og komme tilbage hertil. Der er altså mange vinkler, som når jeg tager cosinus til dem, så får jeg -1/2. Vi skal derfor begrænse de værdier, arcus cosinus funktionen kan antage. Altså begrænse dens værdimængde. Vi begrænser den til den øverste halvdel, altså 1. og 2. kvadrant. Hvis arccos(x) = θ, så skal θ begrænses til den øvre del. θ skal være større end eller lig 0 og mindre end eller lig 𝜋. 0° eller 180°. Vi begrænser den til denne halvdel her. Dette er det eneste punkt, hvor cosinus til vinklen er lig -1/2. Vi kan ikke bruge denne vinkel, da den er uden for værdimængden. Hvad er de gyldige værdier for x? Cosinus til enhver vinkel er mellem -1 og +1. x, definitionsmængden for arcus cosinus funktionen, er x skal være mindre end eller lig med 1 og større end eller lig med -1. Lad os tjekke vores arbejde og se, om den værdi jeg har fået for arccos(-1/2) rent faktisk er 2𝜋/3, når jeg bruger vores ti-85. Lad mig lige tænde den. Jeg skal finde ud af, hvad den inverse cosinus, som er det samme som arccos til -1/2 er. Jeg får dette decimal tal. Lad os se, om det er det samme som 2𝜋/3. 2 gange 𝜋 divideret med 3 er lig præcis det samme tal. Lommeregneren gav mig den samme værdi, men det er ikke nemt at bruge. Det er det rigtige svar, men det ser ikke pænt ud. Jeg kan ikke se, at dette tal er 2𝜋/3 radianer. Når vi bruger enhedscirklen, så får vi dette svar. Lad os afslutte med et interessant spørgsmål, som gælder for alle 3. Hvis jeg skriver arccos(x) og skriver cos foran, hvad bliver det så? Dette udsagn arccos(x) er lig θ, som betyder at cosθ er lig x. Hvis arccos(x) = θ, så kan vi erstatte dette med θ og cos(θ) = x, så alt dette er lig x. Forhåbentlig blev du ikke forvirret. Jeg siger, arccos(x) kan vi kalde θ. Per definition er cos(θ) derfor lig x. Disse to er tilsvarende udsagn. Hvis vi indsætter θ og tager cos(θ), så er det lig x. Lad mig stille dig et bonus spørgsmål, der er lidt mere snedigt. Hvis jeg spørger dig -- dette gælder for alle x, som du indsætter mellem -1 og 1 inklusiv endepunkterne -- hvad er arccos(cos(θ))? Svaret afhænger af θ. Hvis θ ligger i værdimængden mellem 0 og 𝜋, vores gyldige værdimængde for arccos, så er dette lig θ. Hvad hvis vi tager nogle værdier uden for værdimængden? Lad os prøve at se. Lad mig først prøve med θ i værdimængden. Hvad er arccos(cos(2𝜋/3))? cos(2𝜋/3), så kan vi omskrive til arccos(-1/2). cos(2𝜋/3) er -1/2, det så vi tidligere i denne video. Vi løser den og siger, den er lig 2𝜋/3. Hvis θ er mellem 0 og pi, så virker det, fordi arccos funktionen kun kan give værdier mellem 0 og 𝜋. Hvis jeg spørger, hvad er arccos(cos(3𝜋))? Jeg tegner en enhedscirkel. Dette er mine akser. Hvor er 3𝜋? 2𝜋 svarer til jeg går en hel omgang og så går jeg yderligere 𝜋 og jeg ender lige her. Jeg er gået 1,5 gange rundt på enhedscirklen. Dette er 3𝜋. Hvad er x-koordinaten? Den -1, så cos(3𝜋) = -1. Hvad er arccos(-1)? Husk, at værdimængden, altså de værdier arccos kan have skal ligge i denne øvre halvdel mellem 𝜋 og 0. arccos(-1) bliver blot 𝜋. cos(3𝜋) er -1 og arccos(-1) er 𝜋. Det giver mening, da forskellen på 3𝜋 og 𝜋 er en hel omgang på enhedscirklen, så du er sådan set tilbage i det samme punkt på enhedscirklen. Jeg ville udfordrer dig med disse. Denne her er nyttig. cos(arccos(x)) er altid x. Man kan også gøre det med sinus, sin(arcsin(x)) er altid x. Det er godt at vide, du skal ikke blot huske dem, da du måske husker forkert. Hvis du tænker lidt over det, så glemmer du det aldrig.