Grafer med hastighed vs tid: arealet under kurven

Jeg har noget, der bevæger sig med en konstant hastighed på 5 m/s. Vi antager, at den flytter sig til højre, bare for at give os en retning, fordi dette er en vektor størrelse, så det flytter sig i denne her retning. Lad mig afbilde dens hastighed mod tid. Dette er min hastighed Jeg afbilder kun størrelsen af hastighed og det kan angives sådan her: ||v||. Dette er størrelsen af hastigheden. På denne akse har vi tiden. Vi har en konstant hastighed på 5 m/s. Dens størrelse er 5 m/s og den er konstant. Den forandrer sig ikke. Som sekunderne går, så ændrer hastigheden sig ikke. Den er blot 5 m/s. Nu spørger jeg dig: hvor langt har denne ting bevæget sig på 5 sekunder? Dette er 1s...2s...3s...4s...5s... Hvor langt har denne ting bevæget sig på 5 sekunder? Vi kan tænke på det på to måder. Vi ved, at hastighed er lig med forskydning over ændringen i tid. Forskydning er bare ændring i position. Altså ændring i position over ændring i tid. eller man kan sige, hvis du ganger begge sider med ændring i tid, så får du hastighed gange ændring i tid er lig med forskydning. Så hvad var forskydningen herovre? Jeg ved, hvad hastigheden er. Den er 5 m/s. -- Lad mig farvekode dette -- Vi ved, hvad ændringen i tid er. Den er 5 sekunder. -- sekunder går ud med sekunder... Du får 5 gange 5 er lig 25 m. Det er ret ligetil. Det interessante er dog, at det er præcis området under dette rektangel. Jeg vil vise dig i denne video, at dette gælder generelt. Hvis du afbilder hastighed, størrelsen af hastigheden som hastighed versus tid, så vil arealet under kurven være den tilbagelagte afstand eller forskydningen. Fordi forskydning er bare hastigheden gange ændringen i tid. Lad mig tegne en ny kurve, hvor hastigheden ændres. Lad mig tegne en situation, hvor du har en konstant acceleration. Acceleration er 1 m/s². Lad mig tegne den samme type graf, som kommer til at se lidt anderledes ud. Dette er hastigheds-aksen med størrelsen af hastigheden. Dette er min tids-akse. Lad mig lave nogle markeringer, så...1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10 og...1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10. Størrelsen af hastigheden skal måles i m/s og tiden skal måles i sekunder. Hvad kommer der til at ske her? Størrelsen af min starthastighed er 0. Min oprindelige fart er 0, så efter 1 s, hvad kommer der til at ske? Efter 1 sekund kører jeg 1 m/s hurtigere, så nu kører jeg med 1 m/s. Efter 2 sekunder, hvad er der sket? Nu kører jeg igen 1 m/s hurtigere end sekundet før. For hvert sekund jeg går frem i tiden, så kører jeg 1 sekund hurtigere. Som du sikkert kan huske fra algebra, så svarer hældningen i denne graf til accelerationen. Acceleration er lig med ændring i hastighed over ændring i tid. Ændring i tid er langs x-aksen, så dette er ændring i tid. Dette er ændring i hastighed. Når vi afbilder størrelsen af hastighed versus tid, så svarer hældningen af denne linie til accelerationen. Da accelerationen er konstant, så har vi en konstant hældning, altså en ret linje. Lad os sige, at vi accelererer med 1 m/s² i 5 sekunder. Mit spørgsmål til dig er: hvor langt har vi bevæget os? Hvilket er en smule mere interessant end hvad vi hidtil har snakket om. Vi har en starthastighed på 0 og i 5 sekunder accelererer vi med 1 m/s². så 1... 2... 3... 4... 5... vi er her efter 5 sekunder. Vi kender hastigheden efter 5 sekunder. Vores hastighed er nu 5 m/s. Men hvor langt har vi bevæget os? Vi kan gribe det visuelt an. Vi kan tegne rektangler herovre. Her har vi en hastighed på 1 m/s, så hvis jeg siger 1 m/s gange 1 s, så vil det være lidt af afstanden. Ved den næste vil der være lidt mere af afstanden. Jeg kunne blive ved med at tegne disse rektangler. Men tænker du...Vent! Disse rektangler mangler noget. Min hastighed forblev ikke 1 m/s i hele dette sekund. Jeg blev ved med at accelerere, så rektanglerne skal opdeles mere. Måske så de hver svarer til et halvt sekund. I dette halve sekund kørte jeg med denne hastighed. Jeg kørte med den hastighed i et halvt sekund. Hastighed gange tid vil give mig afstanden. Jeg gør det igen for det næste halve sekund. Fuldstændig som heroppe. Jeg kan beregne afstanden for hver af dem. Jeg tror, du kan se, at jo mindre rektangler du laver jo tættere kommer du på at få arealet under kurven. Ligesom situationen heroppe, så svarer arealet under kurven til den tilbagelagte afstand. Det er heldigt for os, at det er en trekant. Vi ved, hvordan vi beregner arealet af en trekant. Arealet af en trekant er lig 1/2 gange grundlinje gange højde. Det giver forhåbentlig mening. Grundlinjen gange højde giver arealet af hele rektanglet, og trekanten er præcis halvdelen af det. Så den tilbagelagte afstand, jeg burde sige forskydningen, fordi vi skal fokusere på vektorer, forskydningen kommer til at være eller størrelsen af forskydningen, hvilket er det samme som afstanden er 1/2 gange grundlinjen, som er 5 s gange højden, som er 5 m/s sekunder går ud med sekunder så vi har 1/2 gange 5 gange 5 meter Det er 1/2 gange 25, hvilket er lig 12,5 meter. Der er et par interessante ting her. Forhåbentlig ved du nu, hvis du afbilder hastighed versus tid, så vil arealet under kurven svare til forskydningen til en bestemt tid. Den anden ting er, at hældningen af kurven svarer til acceleration. Hvad er hældningen her? Kurven er helt flad, fordi hastigheden ikke ændres så her har vi en konstant acceleration. Størrelsen af accelerationen er præcist nul, da vores hastighed ikke ændrer sig. Her har vi en acceleration på 1 m/s². Derfor er hældningen af denne linie herovre 1. Selvom du har konstant acceleration, kan du stadig finde ud af afstanden ved at udregne arealet under kurven. Vi fik her 12,5 meter. Den sidste ting, jeg vil introducere -- nej, det gør jeg i næste video -- er gennemsnitlig hastighed, nu da vi er bekendte med ideen om at størrelsen af forskydningen svarer til arealet under kurven i en hastighed versus tid graf.