Hovedindhold
Emne: (Algebra 2 > Emne 2
Modul 1: Den imaginære enhed i- Introduktion til imaginære tal
- Introduktion til imaginære tal
- Omskrivning af kvadratrødder af negative tal
- Reducering af rødder med negative tal
- Potenser af den imaginære enhed
- Potenser af den imaginære enhed
- Potenser af den imaginære enhed
- i som den principale rod af -1
© 2024 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse
Potenser af den imaginære enhed
Lær at reducere enhver potens af den imaginære enhed i. For eksempel forenkle i²⁷ som -i.
Vi ved, at og at .
Men hvad med ? Og ? Andre heltalspotenser af ? Hvordan kan vi udregne dem?
Udregne og
Vi skal bruge potensregnereglerne! Når vi skal udregne potenser af , kan vi anvende de potensregneregler vi kender, når eksponenterne er heltal.
Lad os udregne og .
Vi ved, at . Men da , får vi:
Vi ved, at . Igen, da , får vi:
Flere potenser af
Lad os fortsætte! Lad os finde de næste potenser af ved hjælp af en samme metode.
Resultaterne er sammenfattet i tabellen.
Et mønster tegner sig
Potenserne af danner altså et gentagende mønster med , , og .
Kan vi bruge dette mønster til at finde ? Lad os prøve det!
Nedenfor er vist de første tal i det gentagne mønster.
I følge mønstret skal være lig med . Lad os se, om vi kan udregne det samme ved at bruge potensregneregler.
Begge metoder viser, at .
Større potenser af
Hvis vi skal udregne , så kunne vi fortsætte mønstret , , , ,... til led nummer , men det ville tage meget tid!
Men ved at se nærmere på mønstret, kan vi se, at , , . Det viser sig, at hævet til et multiplum af er .
Vi kan bruge dette faktum sammen med potensregnereglerne til udregne .
Eksempel
Udregn .
Løsning
Derfor er .
Nu undrer du dig måske over, hvorfor vi valgte at skrive som .
Hvis den oprindelige eksponent ikke er et multiplum af , finder vi bare det nærmeste mindre multiplum af . Hvorefter vi kan omskrive potensen til , eller , da .
Dette tal er nemt at finde, hvis du dividerer den oprindelige eksponent med . Det er kvotienten (uden rest) gange .
Lad os løse nogle opgaver
Opgave 1
Opgave 2
Opgave 3
Udfordrende opgave
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.