Potenser af den imaginære enhed

Nu da vi ved, i'er potenser med større og større eksponenter danner et gentagende mønster af 1, i, -1 og -i, så igen 1, i, -1 og -i. Så skal vi løse, skal vi sige, mere drilske opgaver. Og de er faktisk sjove at løse, når du indser, at du kan bruge i'er potenser, der skifter mellem disse værdier. Du kan bruge disse til finde vilkårlige i'er potenser på en lap papir. Lad os prøve at finde ud af, hvad i¹⁰⁰ er? Kunsten er, at indse, at 100 er et multiplum af 4. Du kan altså sige, at dette er det samme som i⁴ ˟ ²⁵. Som er det samme som (i⁴)²⁵. Når vi har noget opløftet til en potens, som så er opløftet til endnu en potens, så svarer det til at gange eksponenterne. Vi kender værdien af i⁴, så det er lige ud af landevejen. i⁴ er 1. i⁴ er 1, så det her er lig 1²⁵, som er 1. Vi bruger altså dette gentagende mønster af i, når du skal finde værdien af i'er potenser. Lad os prøve en, der er lidt vanskeligere. Lad os prøve i⁵⁰¹. 501 ikke et multiplum af 4, så vi kan ikke blot reducere som før. I stedet kan du skrive det som et produkt af to tal, et der er en i'er potens med eksponent, der er et multiplum af 4 og et der ikke er. Da 500 er et mulitplum af 4, så du kan omskrive det til i⁵⁰⁰ gange i¹. Du har det samme grundtal, så det svarer til at lægge eksponenterne sammen. Så dette er lig i⁵⁰¹. Vi ved, at i⁵⁰⁰ er det samme som i⁴ gange hvad? 4 gange 125 er 500. Så denne del i⁵⁰⁰ er det samme som (i⁴)¹²⁵ gange i¹. i⁴ er 1. 1¹²⁵ er 1. Hele dette er 1. Så har vi blot i¹ tilbage. Dette er lig med i. Det så først lidt skræmmende ud, noget du skulle bruge hele dagen på at løse. Ved at bruge det gentagende mønster, så er i⁵⁰⁰ altså blot 1. Og derfor er i⁵⁰¹ blot i gange det. En i'er potens, der er et multiplum af 4 -- lad mig skrive det mere generelt, hvor vi begrænser k til at være ikke-negativ, k er større eller lig med 0 -- en i'er potens, der er et multiplum af 4, er 1, fordi det er det samme som i⁴ opløftet til k, som er det samme som 1 med eksponenten k, som er 1. Når vi har i med eksponenten 4k + 1, eller 4k + 2, så kan du bruge denne metode. Lad os prøve at lave et par opgaver mere, så du kan se, vi kan løse hvad som helst. Lad os lave i⁷³²¹. Nu skal vi finde ud af, hvordan det bliver et multiplum af 4 plus noget andet. Du kan måske se, at 7320 kan divideres med 4. Du kan tjekke det. Så har du 1 tilbage. Dette er derfor i⁷³²⁰ gange i¹. Dette er et multiplum af 4 -- det ved jeg fordi alle 1000'er er et multiplum af 4. Alle 100'er er et multiplum af 4 og 20 er et multiplum af 4 -- Dette reduceres til 1. Ups, dette er ikke i med eksponenten i, dette er i¹. 7321 er 7320 + 1. Denne del reduceres til 1 og derfor har vi i¹ tilbage som er i. Lad os lave en mere. Lad os prøve en god en, i⁹⁹? Hvad er det højeste multiplum af 4, der er mindre end 99? Det er 96. Dette er det samme som i⁹⁶ gange i³, ikke? Hvis du ganger disse, samme grundtal læg eksponenterne sammen, og du får i⁹⁹. Da i⁹⁶ er et multiplum af 4, kan det skrives som (i⁴)²⁴, (Sal siger forkert!) som er 1²⁴, da i⁴ er 1. (igen Sal siger forkert tal) Nu har vi i³ tilbage. Du kan så enten huske, at i³ er lig med -i eller hvis du har glemt det, så huske at dette svarer til i² gange i. i² er per definition -1. Så du har -1 gange i som er lig -i. Lad os lave en mere, blot for sjovt. i³⁸? Dette er i³⁶ gange i². Jeg bruger eksponenten 36, da det er det største multiplum af 4 mindre end 38. Der er en rest på 2. Det kan reduceres til 1 og jeg har i² tilbage som er -1.