i som den principale rod af -1

I løbet af din matematiske karriere vil du måske støde på folk, der siger, det er forkert at sige, at i er kvadratroden af -1. Når du spørger dem, hvorfor? så vil deres forklaring gå nogenlunde sådan her, som tilsyneladende ser temmelig fornuftig ud. De vil sige, lad os starte med -1. Vi ved fra dens definition, at -1 er lig i gange i. Så langt så godt, lige ud af landevejen. Så siger de, at hvis du antager, at dette er korrekt, så kan vi erstatte hvert af disse i'er med kvadratroden af -1. Og de har ret. Dette er lig med kvadratroden af -1 gange kvadratroden af -1. Ved at bruge reglen for kvadratrødder, der siger, at kvadratroden af a gange b er det samme som kvadratroden af a gange kvadratroden af b. Altså kvadratroden af a gange kvadratroden af b er det samme som kvadratroden af a gange b. Ud fra denne regel, så kan dette derfor omskrives til kvadratroden af -1 gange -1. Kvadratroden af produktet af to ting er det samme som produktet af kvadratroden af hver ting. Jeg ændrede lidt på rækkefølgen. Her har jeg kvadratroden af produkterne, her er det til højre. Vi ved alle, at -1 gange -1 er 1. Derfor er dette lig med kvadratroden af 1. Kvadratroden af 1 er -- dette rodtegn betyder den positive rod -- så den positive kvadratrod er plus 1. De siger, det jo er helt forkert. -1 og 1 er naturligvis ikke lig hinanden. Derfor, siger de, kan du ikke lave den omskrivning vi lavede i dette trin. Her er det så du skal påpege, at dette ikke er det usande trin. Det er korrekt, at -1 ikke er lig 1. Men problemet med deres begrundelse er, at de brugte denne regel, når både a og b er negative. Hvis a og b er negative, så er dette aldrig sandt. Både a og b kan ikke være negative. Normalt når man lærer denne regel, så er dette givet som en lille fodnote, som de fleste ikke lægger mærke til, da det ikke er relevant, når du først lærer om reglen, men betingelsen er vigtig. Der vil ofte stå, for a og b større end eller lig 0. Dette gælder for denne regel. Den er sand for a og b større end eller lig 0, og den kan ikke bruges, når både a og b er negative. Jeg har lige brugt 3 minutter på at fortælle, at folk, der fortæller dig dette, er forkerte på den. Men når det er sagt, så skal du stadig være en smule forsigtig. Når vi tager kvadratroden af noget, som kvadratroden af 4, så ved vi, at det er 2, men 4 har faktisk 2 rødder. -2 er også kvadratroden af 4. Hvis du har -2 gange -2, så får du 4. Dette rodregn betyder den principale kvadratrod eller når vi kun bruger reelle tal, altså ikke imaginære, ikke komplekse tal så er det den positive kvadratrod. Men 4 har to rødder, plus og minus 2. Hvis du har dette rodtegn, så betyder det den positive rod, 2 (Sal siger en fejl). Når du tager kvadratroden af negative tal -- eller senere imaginære og komplekse tal -- så skal du udvide definition af, hvad dette rodtegn betyder. Når du tager kvadratroden af et negativt tal, så siger du egentlig, at dette ikke længere er et traditionelt rodtegn. Det er nu den principale komplekse kvadratrod eller at den nu kan have komplekse tal i definitionsmængden og imaginære eller komplekse tal i værdimængden. Når dette antages, så får du, at kvadratroden af -x er lig med i gange kvadratroden af x. Dette er kun -- jeg vil gerne understrege det, da jeg jo lige har fortalt, dette er forkert, hvis både a og b er negative -- dette er kun sandt, når x er større end eller lig med 0. Hvis x er større end eller lig med 0, så er -x et negativt tal, eller nåh ja 0. Da det er negativt tal, så kan vi skrive dette. Hvis x er mindre end 0, så ville vi gøre alt dette her oppe og vi får et svar, der ikke giver mening. På den måde kan i være kvadratroden af -1, så længe det er den principale rod af den komplekse kvadratrodsfunktion. Du kan omskrive dette til kvadratroden af -1 gange kvadratroden af x. Den eneste fejl folk laver, når de siger, at -1 kan ikke være lig 1, er at bruge denne regel, når både a og b er negative. Så får man noget som tydeligvis er falsk. Hvis du udvider definitionen af kvadratroden til at inkludere negative tal i definitionsmængden samt imaginære tal, kan du gøre dette. Du kan sige, at kvadratroden af -x er det samme som kvadratroden af -1 gange kvadratroden af x, når x er større end eller lig med 0. Nu vil jeg helst ikke forvirre dig, men hvis x er større end eller lig 0, så er dette -x jo tydeligvis et negativt tal eller snarer et ikke positivt tal.