Ligninger (udvidet)

Ligninger med rationale udtryk er ligninger, der indeholder en eller flere brøker, hvor den ubekendte er i nævneren. For at løse dem, forsøger vi normalt at slippe af med brøkerne, og derefter løse ligningen med andre strategier, vi kender.

Her er et par eksempler på forskellige ligninger med rationale udtryk:

Ligninger med kvadratrødder er ligninger, der indeholder udtryk, hvor den ubekendte indgår i en kvadratrod. For at løse dem, vil vi normalt isolere kvadratroden på den ene side af ligningen, og kvadrere begge sider for at slippe af med kvadratroden.

Her er et par eksempler på forskellige ligninger med kvadratrødder:

Når vi løser en ligning, så bruger vi nogle gange operationer, der ikke er reversible, som at tage kvadratet på begge sider af ligningen. Når vi gør det, får vi nogle gange en løsning, der gør den ene side af ligningen lig med den anden. Men når vi indsætter løsningen i den oprindelige ligning, så bliver denne ikke sand. Dette kaldes en falsk løsning. Det er virkelig vigtigt altid at tjekke vores løsninger ved at indsætte dem i den oprindelige ligning, for at sikre, at de ikke er falske.

Ligninger med kubikrødder er ligninger, der indeholder udtryk, hvor den ubekendte indgår i en kubikrod. For at løse dem, vil vi normalt isolere kubikroden på den ene side af ligningen, og hæve begge sider af ligningen til tredje grad for at slippe af med kubikroden.

I dette emne skal vi arbejde med ligningssystemer, hvor mindst en af ligningerne er en andengradsligning. Dem kan vi ofte løse ved at bruge substitutionsmetoden, ligesom med lineære systemer. Nogle gange er det nødvendigt at bruge andre metoder, som at grafisk løsning eller kvadratsætningerne.

Ved grafisk løsning af ligninger afbildes hver side af ligningen som separate funktioner. Der hvor de to grafer skærer hinanden, er løsningen på ligningen.

Løsning af ligninger bruges på utallige måder i den virkelige verden. For eksempel kan ingeniører bruge ligningssystemer med andengradsligninger til at modellere bevægelsen af et projektil, eller en økonomisk analytiker kan bruge ligninger med rationale udtryk til at beregne den mest rentable pris for et produkt.