Introduktion til grafisk løsning af ligninger

Dette er grafen for y = 3/2^x. Det er grafen lige her. Brug grafen til at finde en tilnærmet løsning til 3/2^x = 5. Sæt videoen på pause og prøv selv at løse den, inden vi laver den sammen. Okay, lad os lave den sammen. Vi har allerede fået et hint om, hvordan vi løser den. De har afbildet grafen for y = 3/2^x. Lige her. Det er et hint, især fordi vi skal finde en tilnærmet løsning, så måske vi kan løse ligning og finde en tilnærmet løsning ved at bruge grafen. Det gør vi ved at tage hver side af denne ligning og lave den om til en funktion. Vi skriver y er lig med på begge sider. Når vi skriver y er lig med på den venstre side, så får vi y = 3/2^x, som er den oprindelige graf. Dernæst skriver vi y er lig med på den højre side og får y = 5. Nu kan vi afbilde den. Når vi finder en x-værdi, der giver den samme y-værdi i begge ligninger, så skærer graferne hinanden. Når jeg får den samme y-værdi for en x-værdi i dem begge, så betyder det, at 3/2^x = 5. Vi skal finde det sted de skærer hinanden og dermed få en tilnærmet værdi af x. Det ser ud til, at x er omkring 4. Og vi er færdige. Hvis vi vil, så kan vi tjekke, om det passer. 3/2 opløftet til 4 er det lig 5? 3 opløftet til 4 er 81. 2 opløftet til 4 er 16. Det er ret tæt på 5. 16 gange 5 er 80. Det er ikke eksakt, men ret tæt på. Hvis du har en grafregner, hvor du kan zoome ind og zoome ind og zoome ind, så får du en x-værdi, der er en smule forskellig fra x er lig 4. Lad os lave endnu et eksempel. Pointen er, vi kan finde tilnærmet løsninger til ligninger ved at tegne dem. Her er grafen for y er lig dette tredjegrads polynomium. Brug grafen til at svare på følgende spørgsmål. Hvor mange løsninger har ligningen x³ - 2x² - x + 1 = -1? Sæt videoen på pause og tænk over det. Når vi skal finde ud af, hvor mange løsninger der er, så kan vi lave to funktioner. Den ene er y = x³ - 2x² - x + 1, som vi allerede kan se her. Den anden funktion er y er lig -1. Hvor mange gange skærer de hinanden? Det svarer til antallet af løsninger. Her er y = -1. Når de skærer hinanden, så har vi en løsning til den oprindelige ligning. De skærer hinanden 1, 2 og 3 gange. Der er 3 løsninger. Hvad med den anden opgave? Hvor mange løsninger har denne ligning? Vi bruger samme metode. Vi skriver, y = x³ - 2x² - x + 1. Den anden funktion er y = 2. y = 2 ligger heroppe. Vi kan se, at den kun skærer den anden graf en gang. Derfor er der kun én løsning. Disse er screenshots fra Khan Academy, hvor du blot indtaster 1 eller i forrige opgave indtaster 3. Disse opgaver viser, at du kan tage en ligning med én variabel og sætte begge sider af den lig med y. Tegne dem begge og se, hvor de skærer hinanden. Fordi de x-værdier, hvor de skærer hinanden, er løsninger til den oprindelige ligning. En graf er en nyttig måde at få en tilnærmet løsning, især hvis du har en grafregner eller bruger Desmos eller noget andet.