Tekstopgave med eksponentiel ligning

Liam har åbnet en opsparingskonto og indsat 6250 dollars. Hvert år stiger saldoen med 20%. Hvor mange år vil der gå før saldo er på 12960 dollars? Opstil en ligning der modellerer situationen. Brug t til at repræsentere antallet af år siden Liam oprettede kontoen. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv prøve at løse den. Prøv at opstille en ligning, der modeller situationen ved at bruge variablen t, som beskrevet. Og dernæst svare på spørgsmålet, hvor mange år går der før saldo er 12960 dollars? Lad os se på det. t repræsenterer antallet af år siden Liam oprettede kontoen. Lad os sige, det er 0 år siden Liam oprettede kontoen. Hvor mange penge har han så? Han vil blot have 6250 dollars. Det er det beløb han starter med. Lad os sige, der er gået 1 år siden han oprettede kontoen. Hvor meget har han så? Han har 6250 + 20% af 6250. Det vokser med 20% for hvert år. Dette er det han startede året med, og så får han endnu 20% af de 6250. Hvis vi sætter 6250 udenfor parentes, så bliver det lig med 6250 gange 1 + 20%, som vi kan skrive som 0,2. Som er lig 6250 gange 1,2. Hvor meget har han i slutningen af år 2? Han har det samme beløb, som han havde efter år 1 gange 1,2. Da det igen er vokset med 20%. Så han har det beløb han havde i slutningen af år 1 gange 1,2, som er lig 6250 gange 1,2 gange 1,2, som er lig 6250 gange 1,2² Jeg tror du kan se, hvor det bær hen. Hvad med efter 3 år? Efter 3 år vil det blot fortsætte. Vi skal igen gange med 1,2. Han vil da have 6250 gange 1,2³. Efter t år skal vi gange med 1,2 det antal gange. Efter t år vil han have 6250 gange 1,2 opløftet til t. Det står opstil en ligning, der modellerer situationen. Vi skal finde ud af, hvor mange år vil det tage før der er 12960 på kontoen? Hvornår er der 12960 dollars på kontoen? Vi kan skrive 12960 er lig 6250 gange 1,2 opløftet til t. Denne ligning modellerer situationen Nu skal vi så finde ud af, hvordan vi løser denne tingest. Det først vi gør er at isolere variablen t. Lad os dividere på begge sider med 6250. Så får vi 1,2 opløftet til t er lig 12960 divideret med 6250. Da 10 går op i dem begge, lad os dividere dem med 10. Vi får 1296 divideret med 625. Nu kan du løse dette på flere måder. Hvis du tror svaret er et heltal, så kan du bruge en lommeregner og gange med 1,2 nok gange, indtil du får det rigtige tal. Det er en måde at gøre det på. Der er en mere systematisk måde at gøre det på, når du har lært om logaritmer og det vil jeg vise til sidst. Jeg venter til sidst, hvis du ikke har lært om logaritmer endnu. Du kan altså sige 1296 divideret med 625 er dette tal. Hvor mange gange skal vi gange 1,2 med sig selv? 1,2 gange 1,2. Det er ikke nok. Lad os prøve 3 gange. Lad os prøve 1,2³. 1,2 gange 1,2 gange 1,2. Det er stadig ikke nok. Hvad hvis vi ganger med 1,2 én gang mere? Så får vi det rigtige tal. Vi løste opgaven på den hårde måde. 1,2⁴ giver os denne værdi. Det er en måde at gøre det på. At prøve os frem indtil vi får t er lig 4. Man kan også gøre det på en anden måde. Dette ligner en 5'er potens. Vi ved, at 5¹ er 5 og 5² er 25. 5³ er 125 og 5⁴ er 625. Måske vidste du allerede, at dette var 5⁴. Det er lidt sværere, at se at dette er 6⁴. Dette svarer til 6/5. Vi kan omskrive dette til 6/5 opløftet til t er lig 6⁴/5⁴, som er det samme som (6/5)⁴. Derfor kan du sige 6/5 opløftet til t skal være lig (6/5)⁴. Derfor må t være lig 4. Dette er jo nemt, når du kan se, at dette svarer til noget opløftet til 4, hvilket ikke er helt lige til. Eller hvis du ved dette er et heltal, så kan du blot gange med 1,2. Den systematiske måde at gøre det på er at bruge logaritmer. Der er flere videoer på Khan Academy om hvordan man bruger logaritmer. Hvis du vil vide til hvilken potens 1,2 skal opløftet til for at få dette, og vi beviser det i andre videoer, så tager du logaritmen til det tal, som 1,2-potensen skal være lig. Du kan selv vælge logaritmens grundtal. Din lommeregner har nok den naturlige logaritme, som har grundtal e, og 10tals logaritmen. Lad os bruge 10tals logaritmen. Vi tager logaritmen til det tal vi skal ende med altså 2,0736 og dividerer det med det tal vi opløfter, så vi dividerer det med logaritmen til 1,2. Det ser måske lidt lidt mystisk ud, men vi forklarer det i andre videoer. Du kan bruge en lommeregner til at udregne det, fordi nogle gange får du ikke et heltal. Det kunne være 3,5 år eller 7,1234 år, det kunne være hvad som helst. Dette vil give et mere præcist svar. Hvad skal du ende med? Du skal ende med 2,0736. Hvad skal opløftes? 1,2. Du dividerer logaritmen af det du vil ende med med logaritmen til det du opløfter og trykker Enter og du får svaret. Det er en anden måde at sige 1,2⁴ er lig 2,0736. Det ligner magi, hvis du ikke kender til logaritmer, men vi har videoer om det på Khan Academy. Dette kan løses på flere måder, især denne opgave, hvor svaret er mere enkelt.