Tekstopgave med en andengradsulighed

Lisa ejer en "Tilfældig Slik" automat, som er en maskine, der udvælger slik tilfældigt. Lisa kan bestemme sandsynligheden for, hvilket slik der vælges. Hun er ved at løbe tør for "Honey Bunny," så hun vil programmere maskinen, så sandsynligheden for at få noget andet slik to gange i træk er større end 2 og 1/4 gange sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Lad mig lige læse det igen. Hun vil programmere den, så sandsynligheden for at få noget andet slik to gange i træk, altså alt andet slik to gange i træk, er større end 2 1/4 gange sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Skriv en ulighed, der modellerer denne situation. Brug p til at repræsentere sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Løs uligheden og færdiggør sætningen. Husk, at sandsynligheden skal være et tal mellem 0 og 1. Vi skal skrive en ulighed, der modellerer denne opgave. Hvorefter vi skal færdiggøre sætningen: Sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang er -- vi får nogle muligheder -- større end, større end eller lig med, mindre end, mindre end eller lig med og så skal vi indsætte et tal. Jeg har kopieret og indsat opgaven på min Scratch pad. Lad os lige tænke lidt først. Der står vi skal bruge p til at repræsentere sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Der står også, at hun vil programmere maskinen, så sandsynligheden for at få noget andet slik to gange i træk er større end 2 og 1/4 gange sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Hvis p er sandsynligheden for at få "Honey Bunny", hvad er så sandsynligheden for at få noget andet slik én gang? Den må være (1 - p). Hvis sandsynligheden er p for at få "Honey Bunny", så er den (1 - p) for at få alt andet end "Honey Bunny". Hvad er sandsynligheden for at få dette to gange i træk? Altså at få noget andet to gange i træk? Du skal gange denne sandsynlighed med sig selv. Det bliver (1-p) gange (1-p). eller vi kan skrive (1-p)². Dette er sandsynligheden for at få noget andet slik to gange i træk. Der står, at denne sandsynlighed skal være større end 2 1/4 gange sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Så, større end 2 1/4 gange sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. Så, gange p. Nu har vi lavet den første del. Vi har opstillet en ulighed, der modellerer situationen. Lad os løse denne ulighed. For at gøre det, så ganger jeg (1-p)² ud. (1-p)² er det samme som -- jeg ganger blot ud -- Det bliver 1² - 2p + p² som er større end 2 1/4 p. Hvis vi trækker 2 1/4 p fra på begge sider -- jeg laver lige om på rækkefølgen -- så får vi p² og vi har -2p og -2 1/4 p, som bliver -4 1/4 p. Lad mig skrive det som 17/4 p + 1 er større end 0. Lad os løse denne andengradsligning. Hvornår er den større end 0? Lad os faktorisere den. Nej først lad os lige reducere en smule. Jeg kan ikke lide at have 17/4 lige her. Så lad os gange på begge sider med 4. Da 4 er et positivt tal, så ændrer vi ikke retningen af ulighedstegnet. Vi kan omskrive dette til 4p² -17p + 4 er større end 0. Hvilke rødder har vi? Vi kan bruge løsningsformlen. Det er måske det hurtigste. Der er sikkert en anden måde. Det bliver 17 +/- kvadratroden af -17², som er 289 - 4 gange a gange c. a gange c er 16 og gange 4, så -64. Alt dette over 2 gange a, så over 8. Vi har 17 +/- kvadratroden af 225 over 8, som er lig 17 +/- 15 over 8. 17 - 15 over 8 er lig 2/8 eller 1/4. Det var den ene. Det var med minus. Når vi lægger til, så 17 + 15, som er 32, divideret med 8 er 4. Så der er to situationer. Lad os faktorisere dette. Vi kan skrive det som (p - 1/4) (p - 4) er større end 0. Under hvilke omstændigheder er det sandt? Hvilke betingelser vil gøre dette sandt? Hvis du tager produktet af to led, og det er større end 0, så betyder det, at disse to led har det samme fortegn. At de begge skal være positive eller at de begge skal være negative. Lad os se på de to situationer. -- jeg skifter lige farve -- Begge er positive eller begge er negative. Hvis de begge er positive, så er (p - 1/4) større end 0 og (p - 4) er større end 0. -- lægger 1/4 til på begge sider -- Du får p er større end 1/4 og p er større end 4. Det er den situation, hvor de begge er positive. Hvad hvis de begge er negative? Så har du (p - 1/4) er mindre end 0 og (p - 4) er mindre end 0. -- lægger 1/4 til -- p skal være mindre end 1/4 og p skal være mindre end 4. Kan disse betingelser reduceres? p skal være større end 1/4 og p skal være større end 4. Hvis p er større end 4, så er det også større end 1/4. Dette kan derfor samles til p skal være større end 4. Det er den situration, hvor de begge er positive. p skal være større end 4. Hvad med herover? Hvis p er mindre end 1/4, så er det også mindre end 4. Der er et og her, så dette samles til p skal være mindre end 1/4. Hvilken en af dem vælger vi? p skal være større end 4 eller p skal være mindre end 1/4? Nu skal vi lige huske på, at vi snakker om sandsynligheder. Lad os gå tilbage til opgaven. Vi snakker om sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang. En sandsynlighed skal være mellem 0 og 1. En sandsynlighed, der skal være større end 4, giver simpelthen ikke mening. Så vi vælger, at sandsynligheden for at få "Honey Bunny" skal være mindre end 1/4 altså mindre end 0,25. Det giver mening. Lad os indsætte denne information. Dette er den ulighed, der modellerer opgaven. p skal være mindre end 1/4. Lad os gå tilbage til opgaven. Uligheden er (1 - p)² skal være større end 2 1/4p eller 2,25p. Sandsynligheden for at få "Honey Bunny" én gang skal være mindre end 0,25. Og vi er færdige.