Tekstopgave med rationel (brøk) ligning

Dominique fra Dominiques pizza laver det samme antal pizzaer hver dag. Hun plejede at bruge 8 dollars hver dag på ovnen og 1,50 dollars på ingredienser for hver pizza. 8 dollars hver dag for at bruge ovnen og 1,50 dollars på ingredienser for hver pizza. En dag steg prisen på ingredienser fra 1,50 til 2 dollars per pizza. Dominique lavede nogle udregninger og fandt ud af, at hun skal lave 8 flere pizzaer hver dag for at udgifterne for en enkelt pizza er de samme. Jeg antager de mener de samlede udgifter per pizza, da ingredienserne tydeligvis ikke koster det samme. De samlede udgifter, så vi fordeler udgifterne på ovnen over alle pizzaerne. Opstil en ligning der viser, hvor mange pizzaer Dominique lavede hver dag før priseændringen? Brug p til at repræsentere antallet af pizzaer. Lad os kigge på de samlede udgifter per pizza før og dernæst hendes samlede udgifter per pizza efter, hvis hun laver yderligere 8 pizzaer. Vi bruger p for antallet af pizzaer hun laver per dag inden prisændringen. Inden prisændringen ville hun på en givet dag bruge 8 dollars på ovnen og dernæst 1,50 dollars på ingredienser for hver pizza. 1,5 eller 1,50 dollars gange antallet af pizzaer. Det er hendes samlede udgifter for alle pizzaerne den dag. Det er udgifter på ovnen plus udgifter for ingredienserne. Hvis du vil have dette per pizza, så skal du blot dividere med antallet af pizzaer. Hvad sker der efter prisændringen? Efter prisændringen er hendes udgifter på ovnen stadig 8 dollars. Men nu skal hun bruge 2 dollars per pizza på ingredienser. I stedet for at lave p pizzaer, så laver hun nu 8 pizzaer mere, det bliver (p + 8). Dette er hendes samlede udgifter for alle de pizzaerne hun nu laver. Hvis du vil have det per pizza, så laver hun nu (p + 8) pizzaer og du dividerer med (p + 8). I opgaven står, at disse 2 ting er tilsvarende. Her har du en højere pris på ingredienser per pizza, men da du laver flere pizzaer, så fordeles udgifterne til ovnen over flere og flere pizzaer. Lad os finde ud af, hvad p er? p skal være det antal pizzaer, der gør disse to udtryk lig hinanden. Hendes samlede udgifter per pizza før, da hun kun lavede p er lig hendes samlede udgifter per pizza, når hun laver (p + 8) pizzaer. Disse to skal være lig hinanden. Vi har lavet den første del. Det vi blev spurgt om. Vi opstillede en ligning, der viser, hvor mange pizzaer Dominique lavede hver dag før prisændringen. Vi brugte p til at repræsentere antallet af pizzaer. Men lad os for sjov løse for p. Lad os reducere tingene lidt. Lad os gange med disse på begge sider. Vi ganger på begge sider med (p + 8) og ganger på begge sider med p. Hvis vi ganger med (p + 8) og vi ganger med p, så går det ud med det og det går ud med det. På venstre side kan vi bruge den distributive lov to gange. Hvad er p gange (8+1,5p)? Det er 8p -- jeg ganger p med dette først -- + 1,5p² Lad os gange 8 med begge disse led. +64 + 8 gange 1,5, det er 12, så +12p og det er lig med Lad os gange p med alt dette. Det er lig 8p, da 8 gange p er lig 8p Jeg ganger lige ind her først og så ganger med p. 2 gange p er 2p gange p er 2p², så +2p² 2 gange 8 er 16 gange p er 16p. Vi er nu endt med en andengradsligning, men lad os først reducere, så vi enten kan faktorisere eller bruge løsningsformlen. Lad os trække 2p², nej 1,5p² fra på begge sider. Nej, lad mig lige putte det hele over på den venstre side, da det så bliver mere overskueligt. Lad os trække 2p² fra på begge sider. Lad os trække 16p fra på begge sider. Vi har 8p og 12p, men vi trækker 16p fra på begge sider. Lad os trække 8p fra på begge sider. -- Vi har 16p og 8p her, så det ser faktisk godt ud -- Vi har nu trukket 8p fra på begge sider og 16p fra på begge sider. Nu har vi trukket alt dette fra på begge sider. TIlbage har vi -- jeg skriver det efter grad -- 1,5p² - 2p² er -0,5p². Disse går ud med hinanden. 12p - 16p er -4p og så har vi +64. Alt dette bliver lig 0. Lad os reducere lidt mere eller gøre det lidt pænere. Lad os gange på begge sider af ligningen med -2. Jeg vil have denne koefficient til at være 1. Nu har vi p² + 8p - 128 er lig 0. Lad os se, om vi kan faktorisere den. Kan vi finde to tal med produktet -128? Og når vi lægger dem sammen får vi +8? De skal have forskelligt fortegn. -- hvis vi siger 12 gange -- Hvilke tal kan det være? -- lad os se 128 er det samme som -- 16 går op i 128. 16 går op i 128 8 gange? 8 gange 6 er 48. 8 gange 10 er 80 + 48 er 128. Ja det er 8 gange. 16 og 8 kan bruges. Hvis du har +16 og -8, så er deres produkt -128. Vi kan faktorisere dette som (p + 16) (p - 8) = 0. Dette er lig 0, hvis mindst en af disse er lig 0. Vi har altså 2 løsninger. Enten p + 16 er lig 0 eller p - 8 er lig 0. I denne her trækker vi 16 fra på begge sider og du får p er lig -16. Her får du p er lig 8, hvis du lægger 8 til på begge sider. Vi snakker her om antallet af pizzaer, så denne her kan ikke bruges. Det ville svare til, at Dominique spiste 16 pizzaer eller på anden måde ødelagde 16 pizzaer per dag. Vi er ikke interesseret i den løsning. Vi skal finde løsningen til det oprindelige spørgsmål. Det antal pizzaer hun lavede før prisændringen? Hun lavede 8 pizzaer per dag. Dette p skal være lig 8. Før prisændringen lavede hun 8 pizzaer hver dag. Efter prisændringen lavede hun yderligere 8 hver dag, eller 16 pizzaer per dag.