Aktuel tid:0:00Samlet varighed:12:01
0 energipoint
Studying for a test? Prepare with these 8 lessons on Ligningssystemer.
See 8 lessons

Systems of equations with elimination (and manipulation)

Video transskription
. Lad os løse nogle flere ligningssystemer ved at bruge elimination. I de her systemer vil vi dog skulle gennem nogle flere trin. Vi skal først gøre noget ved ligningerne for at gøre dem klar til elimination. Lad os sige, at vi har ligningen 5x minus 10y er lig med 15, og vi har ligningen 3x minus 2y er lig med 3. Vi skal løse det system med elimination. Vi kunne også bruge substitution eller tegne graferne og se, hvor linjerne skærer hinanden, men her bruger vi elimination. Sidste opgave tog vi med det samme venstre side af en ligning og trak fra venstre side af den anden, eller vi lagde de 2 venstresider sammen, og så lagde vi også de 2 højresider sammen. Det kunne vi gøre, fordi det svarer til at lægge det samme til på begge sider af ligningen, men det er dog ikke så tydeligt, at det vil hjælpe os her. Hvis vi lagde de 2 venstresider sammen her, vil vi få 8x minus 12y, og det vil ikke eliminere nogen af de variable. På højresiden ville vi stå tilbage med et tal. . Det ville heller ikke hjælpe at trække ligningerne fra hinanden. Det ville ikke eliminere nogen variable. Hvordan kan vi så bruge elimination her? Svaret er, at vi kan gange ligningerne her, så en af dem kommer til at se sådan ud, at vi kan eliminere en variabel i den anden. Man kan selv vælge, hvilke variable man vil eliminere. Lad os sige, at vi vil have y'erne til at forsvinde. Lad os skrive 5x minus 10y om. 5x minus 10y er lig med 15. Kan vi gange den grønne ligning med et tal, så minus 2y-leddet bliver til et led, der kan gå ud med de minus 10y? Vi skal altså prøve at lave minus 2y om til plus 10y. . Hvis det her er plus 10y, vil den gå ud med de andre y'er, når vi lægger venstresiderne sammen. Hvad kan vi gange ligningen med? Vi kan gange ligningen med minus 5. Minus 5 gange minus 2 giver plus 10. Lad os gøre det. Lad os gøre den her ligning med minus 5. Vi ganger altså venstre side med minus 5, og vi ganger højre side med minus 5. Hvad får vi? Husk på, at vi faktisk ikke ændrer noget ved ligningen. Vi ændrer ikke den information, vi får af ligningen, fordi vi gør det samme på begge sider af den. Den venstre side bliver til minus 5 gange 3x, som er minus 15x, og så har vi minus 5 gange minus 2y, som er plus 10y. Det er lig med 3 gange minus 5, som er minus 15. Nu er vi klar til at eliminere. Hvis vi lægger den venstre side her til på venstre side af den gule ligning, skal vi også lægge de minus 15 til på højre side af den gule ligning, så lægger vi faktisk det samme til på begge sider. Det er fordi, de 2 ting er lig med hinanden. Lad os gøre det. . Vi har altså 5x minus 15x, og det giver minus 10x. y'erne går ud med hinanden. Minus 10y plus 10y er 0y. Det var ideen med at gange ligningen med minus 5. Det er lig med 15 minus 15, som er 0. Minus 10x er lig med 0. Vi dividerer begge sider med minus 10, og vi får, at x er lig med 0. Nu kan vi substituere det ind i en af de andre ligninger for at finde ud af, hvad y er lig med. Lad os substituere det ind i den øverste ligning. Vi får 5 gange 0 minus 10y er lig med 15. Det er minus 10y er lig med 15. Lad os skrive det. Minus 10y er lig med 15. Vi dividerer begge sider med minus 10, og vi står tilbage med y er lig med minus 15/10, som er minus 3/2. Hvis vi havde tegnet grafen for de 2 ligninger, ville de altså have skåret hinanden i punktet 0 komma minus 3/2. Vi kan tjekke, om det også opfylder den her ligning. Den originale ligning var 3x minus 2y er lig med 3. 3 gange 0 minus 2 gange minus 3/2. Det her er 0, og det her er plus 3. . De her går ud med hinanden, så det bliver positivt. Plus 3 er lig med 3. Det punkt opfylder altså begge vores ligninger. Lad os lave en opgave mere, hvor vi skal gange ligningerne, før vi kan bruge elimination af de variable. Det gør vi. Vi har ligningen 5x plus 7y er lig med 15, og vi har 7x minus 3y er lig med 5. Igen ville det ikke hjælpe noget, hvis vi trak de 2 venstresider fra hinanden eller lagde dem sammen. De har ikke samme koefficienter. Lad os først vælge en variabel, vi vil eliminere. Lad os sige, at vi vil eliminere x den her gang. Det er ligegyldigt, hvilken variabel vi vælger. Det betyder ikke noget. Vi kan vælge både x og y. Her vælger vi dog x. På en eller anden måde skal vi altså nu gøre noget ved enten den ene eller begge af de her ligninger, så x får samme koefficient eller den negative version og den positive version af samme tal som koefficienter. Så kan vi lægge de 2 venstresider sammen, og så kan vi eliminere x. Der er ikke umiddelbart noget, vi kan gange den her ligning med for at få det her til at blive minus 5. Så skal vi gange med en eller anden brøk. Det skal vi også i den anden. Det er dog sjovere at se, om vi ikke kan få begge koefficienter til at blive det mindste fælles multiplum. Vi kan få begge koefficienter til at være 35. Det kan vi gøre ved at gange ligningerne med koefficienten i den anden ligning. Vi kan altså gange den øverste ligning her med 7. Vi vælger 7, fordi det her så bliver 35. Vi kan så gange den nederste ligning her med minus 5. Det gør vi, fordi det her så bliver minus 35. Det gælder om at eliminere x'erne, så hvis vi laver det her om til 35 og det her til minus 35, er vi godt på vej. Så kan vi lægge venstresiderne og højresiderne af de 2 ligninger sammen. Hvad bliver den her ligning, når vi ganger med 7? Lad os rulle lidt op. Det bliver 35x plus 49y er lig med 105. 70 plus 35 er 105. . 15 gange 7 er lig med 105. Det er det, den øverste ligning bliver til. Den nederste ligning bliver til minus 5 gange 7x, som er minus 35x. Minus 5 gange minus 3y, som er plus 15y. Minus og minus giver plus. Til sidst har vi 5 gange minus 5. 5 gange minus 5 er lig med minus 25. Vi kan nu tage udgangspunkt i den øverste ligning og lægge det samme til på begge sider. Det samme er minus 25, fordi minus 25 er lig med det her udtryk. Lad os lægge venstresiderne og højresiderne sammen. . Når vi gør det, lægger vi det samme til på begge sider. På venstre side går de her x'er altså ud med hinanden. 35x minus 35x. Det var det, vi skulle have til at ske. De går ud, og så har vi 49y plus 15y. Det giver 64y. 64y er lig med 105 minus 25 er lig med 80. Vi dividerer begge sider med 64, og så får vi 80 over 64. Hvad skal vi forkorte tælleren og nævneren med? Vi kan forkorte med både 8 og 16. . Lad os starte med 8. Det er lettest. Så blive brøken 10/8, og den kan vi forkorte med 2, og så får vi 5/4. Hvis vi forkortede med 16 med det samme, havde vi også fået 5/4. y er altså lig med 5/4. Lad os nu finde ud af, hvad x er. Vi kan substituere det her ind i en af de her ligninger eller ind i en af vores originale ligninger. Lad os substituere det ind i vores anden originale ligning. Der havde vi 7x minus 3y er lig med 5. Det var den originiale version af den anden ligning, som vi lavede om til det her. Vi får altså 7x minus 3 gange y, som er 5/4 er lig med 5. Det er 7x minus 15/4 er lig med 5. Det må det være. Minus 3 gange 5/4 er lig med 15/4. . Det er lig med 5. Lad os lægge 15/4 til på begge sider. Hvad får vi? Venstre side er 7x. De her går ud med hinanden. Det her bliver lig med 5, som er det samme som 20/4 plus 15/4. Det betyder også, at 7x er lig med 35/4. Vi kan gange begge sider med 1/7, eller vi kan dividere begge sider med 7. Det er det samme. Lad os gange begge sider med 1/7. Det er det samme som at dividere med 7. De her går altså ud med hinanden, og vi har x er lig med 35 divideret med 7, som er 5, og 7 divideret med 7, som er 1. x er altså også lig med 5/4. Vores skæringspunkt er altså x er lig med 5/4, y er lig med 5/4. På grafen ville punktet være 5/4 komma 5/4. Lad os tjekke det i den øverste ligning. Hvad er 5 gange 5/4 plus 7 gange 5/4? . Det skal være lig med 15. Det her er 25/4. Det her er plus 35/4. Det giver 60/4, og det er helt klart lig med 15. Det opfylder altså også den øverste ligning. Man kan selv tjekke det i den nederste ligning. Det burde dog virke, fordi vi brugte den til at finde ud af, at x var lig med 5/4.