Ligningssystemer med lige store koefficienters metode (og omskrivning)

Lad os løse nogle flere ligningssystemer ved at bruge lige store koefficienters metode, denne gang med mere end ét trin. Vi skal først omskrive ligningerne, før vi kan fjerne en ubekendt. Lad os sige, at vi har ligningen 5x minus 10y er lig med 15, og vi har ligningen 3x minus 2y er lig med 3. Vi skal bruge lige store koefficienters metode. Vi kunne også bruge substitutionsmetoden eller tegne graferne og se, hvor linjerne skærer hinanden, men her bruger vi lige store koefficienters metode. Med den metode tager vi venstre side af en ligning og trækker fra venstre side af en anden ligning, eller vi lægger de 2 venstre sider sammen, og de 2 højre sider sammen, fordi det svarer til, at lægge det samme til på begge sider af ligningen. Men her vil det ikke at hjælpe os. Hvis vi lægger de 2 venstre sider sammen, får vi 8x minus 12y, så ingen af variablerne elimineres. På højre side vil der være et tal. Subtraktion vil heller ikke eliminere nogen variable. Hvordan kan vi så bruge lige store koefficienters metode? Vi kan omskrive ligningerne, så vi KAN eliminere en variabel. Man kan selv vælge, hvilken variable man vil eliminere. Lad os sige, at vi vil fjerne y'erne. Lad os omskrive 5x minus 10y. 5x minus 10y er lig med 15. Hvad kan vi gange den grønne ligning med, så minus 2y-leddet bliver til et led, der kan gå ud med de minus 10y? Vi skal altså prøve at lave minus 2y om til plus 10y. Hvis det her er plus 10y, vil det elimineres når vi lægger venstre side sammen. Hvad kan vi gange ligningen med? Vi kan gange ligningen med minus 5. Minus 5 gange minus 2 giver plus 10. Lad os gøre det. Lad os gange denne ligning med minus 5. Vi ganger altså venstre side med minus 5, og vi ganger højre side med minus 5. Hvad får vi? Husk, vi ændrer ikke noget ved ligningen. Vi ændrer ikke den information, vi der er i ligningen, fordi vi gør det samme på begge sider. Den venstre side bliver minus 5 gange 3x, som er minus 15x, og vi har minus 5 gange minus 2y, som er plus 10y. Det er lig med 3 gange minus 5, som er minus 15. Nu er vi klar til at eliminere. Hvis vi lægger dette til den venstre side af den gule ligning, og vi lægger minus 15 til den højre side af den gule ligning, så lægger vi det samme til på begge sider. Da de er lig med hinanden. Lad os gøre det. Vi har altså 5x minus 15x, og det giver minus 10x. y'erne går ud med hinanden. Minus 10y plus 10y er 0y. Det var årsagen til at gange ligningen med minus 5. Det er lig med 15 minus 15, som er 0. Minus 10x er lig med 0. Vi dividerer begge sider med minus 10, og vi får, at x er lig med 0. Nu kan vi indsætte det i en af de andre ligninger for at finde ud af, hvad y er lig med. Lad os indsætte det i den øverste ligning. Vi får 5 gange 0 minus 10y er lig med 15. Det er minus 10y er lig med 15. Minus 10y er lig med 15. Vi dividerer begge sider med minus 10, og vi står tilbage med y er lig med minus 15/10, som er minus 3/2. Hvis vi tegner grafen vil de skære hinanden i punktet 0 komma minus 3/2. Vi kan tjekke, om det også opfylder den her ligning. Den originale ligning var 3x minus 2y er lig med 3. 3 gange 0 minus 2 gange minus 3/2. Det her er 0, og det her er plus 3 -- de her går ud med hinanden, så det bliver positivt -- plus 3 er lig med 3. Det punkt opfylder altså begge ligninger. Lad os lave en opgave mere, hvor vi skal gange ligningerne, før vi kan fjerne en af de variable. Det gør vi. Vi har ligningen 5x plus 7y er lig med 15, og vi har 7x minus 3y er lig med 5. Det vil ikke hjælpe, hvis vi trak venstre side fra hinanden eller lagde dem sammen. De har ikke samme koefficienter. Lad os vælge hvilken variabel, vi vil fjerne. Lad os fjerne x denne gang. Det er ligegyldigt, hvilken variabel vi vælger. Vi kan vælge y, men lad os vælge x. Vi skal nu omskrive en eller begge ligninger, så x får samme koefficient. Altså det samme tal, men den modsatte koefficient. Når vi lægger venstre side sammen, så fjernes x. Vi kan gange med en brøk, så det bliver minus 5. Eller denne med en brøk, så det bliver minus 7. Det er dog sjovere at lave dem om til det mindste fælles multiplum. Vi kan lave begge koefficienter om til at være 35, ved at gange ligningerne med hinandens koefficienter. Vi ganger den øverste ligning med 7. Vi vælger 7, fordi det så bliver 35. Vi ganger den nederste ligning med -5. Det gør vi, fordi det så bliver -35. Det gælder om at fjerne x'erne. Hvis vi laver det her om til 35 og det her til minus 35, så er vi klar. Vi kan lægge venstre- og højresiderne sammen. Hvad bliver den her ligning, når vi ganger med 7? Det bliver 35x plus 49y er lig med 105. -- 70 plus 35 er 105 -- 15 gange 7 er lig med 105. Det var den øverste ligning. Den nederste ligning bliver minus 5 gange 7x, som er minus 35x. Minus 5 gange minus 3y, som er plus 15y -- minus og minus giver plus -- og 5 gange minus 5 er lig med minus 25. I den øverste ligning lægger vi det samme til på begge sider. Det samme er minus 25, fordi minus 25 er lig med det her udtryk. Lad os lægge venstre- og højresiderne sammen. Når vi gør det, lægger vi det samme til på begge sider. På venstre side går x'erne ud med hinanden. 35x minus 35x. Det var det, vi skulle have til at ske. De fjernes, og så har vi 49y plus 15y. Det giver 64y. 64y er lig med 105 minus 25 er lig med 80. Vi dividerer begge sider med 64, og så får vi y er lig med 80 over 64. Vi skal dividere tæller og nævner med både 8 og 16. 16 er nok bedre, men lad os starte med 8, da det er lettere. Så bliver den 10/8, som divideres med 2, og vi får 5/4. Hvis vi dividerede med 16 med det samme, havde vi også fået 5/4. y er altså lig med 5/4. Lad os nu finde ud af, hvad x er. Vi kan indsætte det i en af de her ligninger eller i en af vores oprindelige ligninger. Lad os indsætte det i vores anden oprindelige ligning. Der havde vi 7x minus 3y er lig med 5. Det var den oprindelige version af den anden ligning, som vi omskrev til det her. Vi får altså 7x minus 3 gange y, som er 5/4, er lig med 5. Det er 7x minus 15/4 er lig med 5. (Sal troede, han havde lavet en fejl.) Så 7x minus 15/4 er lig med 5. Lad os lægge 15/4 til på begge sider. Hvad får vi? Venstre side er 7x. De her går ud med hinanden. 5 er det samme som 20/4 plus 15/4. Så 7x er lig med 35/4. Vi kan gange begge sider med 1/7, eller vi kan dividere begge sider med 7. Det er det samme. Lad os gange begge sider med 1/7. Det er det samme som at dividere med 7. De her går altså ud med hinanden, og vi har x er lig med 35 divideret med 7, som er 5, og 7 divideret med 7, som er 1. x er lig med 5/4. Vores skæringspunkt er x er lig med 5/4, og y er lig med 5/4. På grafen ville punktet være 5/4 komma 5/4. Lad os tjekke at den øverste ligning er opfyldt. Hvad er 5 gange 5/4 plus 7 gange 5/4? Hvad får du så? Det skal være lig med 15. Det her er 25/4 plus 35/4. Det giver 60/4, og det er helt klart lig med 15. Det opfylder også den øverste ligning. Du kan selv tjekke den nederste ligning. Det burde dog virke, da brugte den til at finde ud af, at x er lig med 5/4.