Eksempel: tilsvarende ligningssystemer

"Vivek og Camilas lærer gav dem et ligningssystem af lineære ligninger. De foretog sig nogle trin som vist i tabellen nedenfor." Her har vi lærerens oprindelige system, og Viveks ligninger og Camilas ligninger. "Hvem af dem har et ligningssystem, der er tilsvarende med lærerens?" Det første vi skal spørge os selv om er, hvad betyder et tilsvarende ligningssystem? I denne sammenhæng betyder et tilsvarende ligningssystem, at det har samme løsning. Hvis der er et x, y par, der opfylder lærerens system, altså er en løsning til lærerens system, så kan vi sige, at Viveks system er tilsvarende, hvis det har den samme løsning. På samme måde kan vi sige, hvis Camilas system har samme løsning, så er det tilsvarende med lærerens. Lad os derfor sammenligne. Lad os først se på Viveks. Han første ligning er uændret i forhold til lærerens ligning, så enhver løsning, der opfylder begge disse ligninger, vil helt sikkert også opfylde denne øverste ligning, da det jo er helt den samme ligning, som den øverste af lærerens. Lad os se på den anden ligning. Den anden ligning er helt sikkert forskellig fra disse to. Vi kan tjekke om der blot er ganget med et tal på begge sider. For at gå fra 1 til 0, når man ganger, så skal man gange 1 med 0. For at holde ligningen afstemt, så skal man gøre det på begge sider, men 0 gange den venstre side er 0, så du ville få 0 = 0. Han har ikke blot ganget begge sider med et tal. Han må have gjort noget andet. Han har nok lagt til eller trukket fra på begge sider. Lad os se, hvordan han er kommet frem til den her. Han tog -4x + 5y = 1 Fra den kom han frem til -3x + 7y = 0. Lad os se, hvordan han gjorde det? Han skulle gå fra -4x til -3x, så han lagde x til. Jeg kan skrive et x her. For at gå fra 5y til 7y, så skal han lægge 2y til. På venstre side lagde han derfor x + 2y til. Bemærk, vi har x + 2y lige her. Og på højre side har han trukket 1 fra eller lagt -1 til. Bemærk, vi kan se -1 lige her. Han lagde altså venstre side af de to ligninger sammen og fik denne venstre side og han lagde højre side samme og fik denne nye højre side. Det er tilladt. Den nye ligning repræsenterer en anden linje end den her, men det resulterende ligningssystem har den samme løsning. Hvordan kan vi vide, at det resulterende system har den samme løsning? Ethvert x, y par, der opfylder begge lærerens ligninger, altså er en løsning for dette system, der er x + 2y lig -1. Så vi lægger det samme til på begge sider af den løsning. Jeg lægger x + 2y til på venstre side og hvis jeg ikke vil ændre løsningen, så skal jeg lægge det samme til på højre side. Vi ved, at for denne løsning, så er x + 2y lig -1 -1 er det samme som x + 2y for den løsning. Vi ændrer derfor ikke løsningen i det resulterende system. Vivek har foretaget helt gyldige operationer, da han lagde venstre og højre siderne sammen og fik denne nye anden ligning. Det ændrer ikke løsningen til systemet. Faktisk er det en metode vi ofte bruger for at finde en løsning på et system. Lad os nu kigge på Camilas. Hendes første ligning er den samme som lærerens anden ligning. Hendes anden ligning, hvordan hænger den samme med den første ligning? Umiddelbart ser det ud til, at hun blot gangede begge sider med et tal. Hun gangede højre side med -8. -1 gange -8 er 8. Og det ser også ud til hun gangede venstre side med -8. -8 gange x er -8x og -8 gange 2y er -16y Hun gangede på begge sider med samme værdi, hvilket ikke ændrer ligningen. Det ændrer ligningens udseende, men den repræsenterer den samme linje. Dette er helt sikkert et tilsvarende ligningssystem. Det er stadig de samme relationer. Du får den samme løsning. Når du arbejder med ligningssystemer, så ændrer du ikke løsningen af systemet, hvis du ganger med samme tal på begge sider eller hvis du lægger ligninger sammen eller trækker dem fra hinanden. Når jeg siger lægger sammen eller trækker fra, så mener jeg lægge venstre side til venstre side og højre side til højre side. Eller trækker fra. Vi kan trække den nederste fra den øverste på den venstre side og trække den nederste fra den øverste på den højre side. Det ændrer ikke løsningen. De har begge lavet ligningssystemer, der til tilsvarende. Det vil sige de har den samme løsning, som lærerens ligningssystem.