3. logaritmeregel (potensreglen)

Vi skal reducere log₅(x³). Vi skal altså omskrive det. Man kan diskutere om det bliver mere eller mindre reduceret. Den logaritmeregel, som vi skal bruge er 3. logaritmeregel. Logaritmen med grundtal x til y opløftet til z er det samme som z gange logaritmen med grundtal x til y. Dette er 3. logaritmeregel. Hvis jeg tager logaritmen med et givet grundtal til en potens, så svarer det til at gange eksponenten med logaritmen med det givet grundtal til potensens grundtal som her er y. Lad os bruge denne regel her. Når jeg er færdig med denne opgave, så kan vi snakke om, hvorfor dette giver mening og hvordan den udledes af potensregnereglerne. Når vi bruger reglen her, vi har log₅(x³) Dette er eksponenten, den svarer til z. Så det bliver det samme som -- jeg bruger en anden farve -- som at sætte 3 foran og gange med log₅(x). Og vi er færdige. Det er omskrevet ved at bruge denne regel. Men vi kan diskutere, om det er en reducering bare fordi du satte eksponenten foran logaritmen og ganger med den. Uanset hvad, hvorfor giver det mening? Lad os sige vi ved -- jeg vælge nogle tilfældige bogstaver -- at a opløftet til b er lig c Det er skrevet som en eksponentiel ligning. Vi kan skrive det samme som en logaritmiske ligning som logaritmen med grundtal a til c er lig b. Hvad skal jeg opløfte a til for at få c? Jeg skal opløfte a til b. a opløftet til b er lig c. Godt nok. Lad os opløfte begge sider af denne ligning til d. Jeg skriver det lige igen herover. Jeg skriver den oprindelige ligning a opløftet til b er lig c Men lad os opløfte begge sider til d. -- jeg bør holde det ensartet og kun bruge store bogstaver, så B -- -- nej kun små bogstaver. Dette er et lille c -- Når jeg opløfter dette til d, så skal dette også opløftet til d. Hvis de er lig hinanden og jeg opløfter dem til samme grad, så er de stadig lig hinanden. Nu kan vi bruge vores potensregneregler Hvis jeg har a opløftet til b opløftet til d, så siger potensregnereglerne at det er det samme som a opløftet til bd. Nu har vi a opløftet til bd er lig c opløftet til d. Denne eksponentielle ligning kan skrives som en logaritmisk ligning. Logaritmen med grundtal a til c opløftet til d er lig bd. Hvad skal jeg opløftet a til for at få c opløftet til d? Jeg skal opløfte det til bd. Ved vi hvad b er? Vi ved allerede at b er lig dette her. Vi kan indsætte det for b. Vi kan omskrive bd til db og vi får logaritmen med grundtal a til c opløftet til d er lig d gange b, som er lig d gange logaritmen med grundtal a til c. Sådan, her er vores logaritmeregel. Logaritmen med grundtal a til til c opløftet til d er det samme som d gange logaritmen med grundtal a til c, som vi brugte herover.